[논문 리뷰] On the existence of four or more curved foldings with common creases and crease patterns

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 17.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 공간에서 동일한 접기 패턴과 접기 선을 가진 비합동 곡선 접기의 수를 조사한다. 접기 선 곡선과 그 평면 패턴의 대칭성 분석을 통해, 비폐합성이고 대칭이 없는 접기 선과 패턴에 대해 정확히 네 가지의 서로 다른 곡선 접기가 존재함을 증명한다; 그렇지 않으면 수가 두 가지 이하로 감소한다. 이 작업은 옹골 기하학에서 개발 가능한 표면에 관한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Consider an oriented curve $Γ$ in a domain $D$ in the plane $\boldsymbol R^2$. Thinking of $D$ as a piece of paper, one can make a curved folding in the Euclidean space $\boldsymbol R^3$. This can be expressed as the image of an "origami map" $Φ:D o \boldsymbol R^3$ such that $Γ$ is the singular set of $Φ$, the word "origami" coming from the Japanese term for paper folding. We call the singular set image $C:=Φ(Γ)$ the crease of $Φ$ and the singular set $Γ$ the crease pattern of $Φ$. We are interested in the number of origami maps whose creases and crease patterns are $C$ and $Γ$, respectively. Two such possibilities have been known. In the authors' previous work, two other new possibilities and an explicit example with four such non-congruent distinct curved foldings were established. In this paper, we determine the possibility of the number $N$ of congruence classes of curved foldings with the same crease and crease pattern. As a consequence, if $C$ is a non-closed simple arc, then $N=4$ if and only if both $Γ$ and $C$ do not admit any symmetries. On the other hand, when $C$ is a closed curve, there are infinitely many distinct possibilities for curved foldings with the same crease and crease pattern, in general.

연구 동기 및 목표

• 동일한 접기 선과 접기 패턴을 가진 3차원 공간에서 비합동 곡선 접기의 최대 수를 결정하는 것.
• 접기 선 곡선 $C$와 그 평면 패턴 $\Gamma$의 대칭성이 서로 다른 곡선 접기의 수에 어떻게 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 대칭 성질에 기반한 완전한 분류를 설정하여 이전의 적합한 곡선 접기 결과를 일반화하는 것.
• 접기 선 $C$가 폐합 곡선일 경우 이러한 접기의 존재성과 수를 해결하여 일반적으로 무한히 많은 가능성이 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$ 내의 특이 집합이 평면 곡선 $\Gamma$에서 옮겨진 개발 가능한 표면으로 곡선 접기를 정의하는 것.
• 이전 연구에서 제시된 조건 (i)-(iv')를 만족하는 '적합한' 곡선 접기의 개념을 도입하는 것.
• 평면 $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$와 공간 $C \subset \mathbb{R}^3$에 대해 등장하는 등장성 기반 대칭성 분석을 수행하며, 양의 대칭과 음의 대칭을 구분하는 것.
• 접선 길이 매개변수화, 곡률 함수, Frenet-Serret 공식과 같은 미분기하학 도구를 사용하여 접기 행동을 특성화하는 것.
• 접기 선 $C$와 평면 패턴 $\Gamma$가 비자명한 대칭을 갖는지 여부에 따라 합동류의 수가 달라진다는 것을 증명하는 것.
• 타원의 재매개변수화와 스케일링을 통해 접기 길이를 일치시키는 방식으로 명시적 예시를 구성하여 네 개의 비합동 접기를 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 공간에서 동일한 접기 패턴과 접기 선 곡선을 가진 비합동 곡선 접기의 최대 수는 얼마인가?
• RQ2 접기 선 곡선 $C$와 그 평면 패턴 $\Gamma$의 대칭성은 서로 다른 곡선 접기의 수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 기하 조건에서 이러한 접기의 수가 네 개에 도달하고, 언제 두 개 이하로 감소하는가?
• RQ4 폐합된 접기 선 곡선 $C$에 대해 동일한 $\Gamma$를 가진 무한히 많은 서로 다른 곡선 접기가 존재할 수 있는가?
• RQ5 단일 쌍 $(\Gamma, |C|)$이 곡선 접기의 오직 한 개의 합동류만을 만들어내는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 비폐합성이고 단순한 호인 $\mathbb{R}^3$ 내의 곡선 $C$에 대해, 곡선 접기의 합동류 수 $N$은 $C$와 $\Gamma$가 모두 비자명한 대칭을 갖지 않을 때에만 정확히 네 개인다.
• 만약 $C$ 또는 $\Gamma$ 중 하나라도 비자명한 대칭을 갖는다면, $N \leq 2$이다.
• 접기 선 $C$가 폐합 곡선일 경우, 일반적으로 동일한 $\Gamma$와 $|C|$를 가진 무한히 많은 서로 다른 곡선 접기가 존재할 수 있다.
• 스케일된 타원을 $\Gamma$로 사용하고, 길이가 일치하는 폐합된 공간 곡선 $C_3$를 사용하여 네 개의 비합동 곡선 접기가 실제로 존재한다는 것이 명시적 예시를 통해 확인되었다.
• 길이가 일치하는 $C_3$를 따라 개발 가능한 스트립 $F$를 구성하였으며, 그 곡률 함수가 재매개변수화된 타원과 일치하도록 하여 그림 7에 나타낸 세 가지의 서로 다른 접기를 도출하였다.
• 논문은 공간 곡선 $C$가 동시에 양의 대칭과 음의 대칭을 갖는다는 것과 그것이 평면에 있고 비자명한 대칭을 갖는다는 것이 서로 동치임을 증명한다.