[논문 리뷰] On the existence of Hamiltonians for non-holonomic systems

C. Cronström, Tommi Raita|ArXiv.org|2007. 11. 26.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 3차원 비환원적 시스템이 선형 비환원적 제약 조건을 하나만 가질 경우 원래 형태로는 변분 형식이나 해밀턴형을 갖지 못함을 보여주지만, 동일한 두 차원 자율 시스템으로 간소화될 수 있으며, 이는 변분 형식과 표준 해밀턴형 기술을 모두 허용한다. 감소된 시스템에 대해 두 개의 서로 다른 라그랑지안과 그에 해당하는 해밀턴형이 명시적으로 구성되었으며, 이는 비환원적 시스템이 특정 조건 하에서 해밀턴 역학으로 기술될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the question of existence of Hamiltonians for autonomous non-holonomic mechanical systems in this paper. The approach is elementary in the sense that the existence of a Hamiltonian for a given non-holonomic system is considered to be equivalent to the existence of a non-degenerate Lagrangian for the system in question. The possible existence of such a Lagrangian is related to the inverse problem of constructing a Lagrangian from the appropriate equations of motion. A simple example in three dimensions with one non-holonomic constraint is analysed in detail, and it is shown that in this case there is no Lagrangian reproducing the equations of motion in three dimensions. Thus the system does not admit a variational formulation in three dimensions. However, the system in question is equivalent to a two-dimensional system which admits a variational formulation. Two distinct Lagrangians and their corresponding Hamiltonians are constructed explicitly for this two-dimensional system

연구 동기 및 목표

• 비환원적 기계 시스템이 변분 원리의 문제로 인해 잘 알려진 어려움이 있음에도 불구하고 해밀턴형 기술을 갖는지 조사하기 위해.
• 원래 구성 공간에서 라그랑지안이 존재하지 않는다는 것이 해밀턴형의 존재를 의미하지 않는지를 분석함으로써, 라그랑지안 구성의 역문제를 고려하기 위해.
• 3차원 비환원적 시스템이 선형 비환원적 제약 조건 하나를 가질 경우, 변분 및 해밀턴형 기술이 가능한 두 차원 시스템으로 간소화될 수 있음을 보여주기 위해.
• 감소된 두 차원 비환원적 시스템에 대해 두 개의 서로 다른 라그랑지안과 그에 해당하는 해밀턴형을 명시적으로 구성함으로써, 기술의 비유일성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 해밀턴형의 존재는 캐논성 운동량 정의 $ p^j = \partial L / \partial \dot{q}_j $ 를 통해 비특이 라그랑지안의 존재와 동치임을 보였다.
• 특정 3차원 비환원적 시스템에 대해 운동 방정식에서 라그랑지안을 구성하는 역문제를 적용하였다.
• 원래의 3차원 시스템은 제약 조건을 이용해 한 개의 자유도를 제거함으로써 두 차원 자율 시스템으로 간소화될 수 있으며, 이는 변분 형식을 가능하게 한다.
• 감소된 두 차원 시스템에 대해 두 개의 서로 다른 라그랑지안 $ L_I $ 와 $ L_{II} $ 를 유도하였으며, 각각 다른 해밀턴형 기술을 이끌어냈다.
• 라그랑지안에서 캐논성 운동량을 계산하고, 레지오르드 변환을 통해 해당 해밀턴형 $ H_I $ 와 $ H_{II} $ 를 유도하였다.
• 두 해밀턴형에서 유도된 캐논성 운동방정식이 감소된 두 차원 시스템의 원래 운동 방정식을 재현함을 확인하여 일관성을 입증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 구성 공간에서 변분 형식이 존재하지 않는 비환원적 시스템이 여전히 해밀턴형 기술을 갖을 수 있는가?
• RQ2 비환원적 시스템에 대해 해밀턴형이 존재한다는 것과 동일한 시스템에 대해 비특이 라그랑지안이 존재한다는 것이 동치인가?
• RQ3 선형 비환원적 제약 조건 하나를 가진 3차원 비환원적 시스템이 변분 및 해밀턴형 기술이 가능한 낮은 차원의 시스템으로 간소화될 수 있는가?
• RQ4 동일한 감소된 비환원적 시스템에 대해 서로 다른 두 개의 라그랑지안 및 해밀턴형 기술이 존재하는가?

주요 결과

• 선형 속도 제약 조건 하나를 가진 원래의 3차원 비환원적 시스템은 3차원에서 그 운동 방정식을 재현하는 어떤 라그랑지안도 존재하지 않아 변분 형식을 갖지 못한다.
• 이 시스템은 두 개의 서로 다른 라그랑지안 $ L_I $ 와 $ L_{II} $ 가 존재함을 통해 변분 형식을 갖는 두 차원 자율 시스템으로 간소화될 수 있음이 입증되었다.
• 라그랑지안 $ L_I $ 는 해밀턴형 $ H_I = \frac{1}{m}p_y p_z + \frac{uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y \log\left(\frac{p_y}{mc_0}\right) $ 를 이끌어내며, 이는 운동 방정식을 재현한다.
• 라그랑지안 $ L_{II} $ 는 해밀턴형 $ H_{II} = \sqrt{\frac{2c_0 p_y}{m}} p_z + \frac{2uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y $ 를 이끌어내며, 이 역시 운동 방정식을 재현한다.
• 두 해밀턴형에서 유도된 캐논성 운동방정식은 두 차원 시스템의 운동 방정식을 재현하며, 이는 두 기술의 타당성을 확인한다.
• 동일한 물리적 시스템에 대해 두 개의 서로 다른 해밀턴형 기술이 존재함을 통해, 비환원적 시스템에 대해 해밀턴형 표현의 비유일성이 입증된다.