[논문 리뷰] On the existence of holomorphic embeddings of strictly pseudoconvex algebraic hypersurfaces into spheres

Peter Ebenfelt, Duong Ngoc Son|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 06.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 어떤 $N$ 에 대해서도 $\mathbb{C}^{N+1}$ 의 구에 국소적으로 헬름로픽으로 매장될 수 없고, 또한 어떤 $N$ 에 대해서도 컴act, 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면에도 매장될 수 없는 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면이 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에 존재함을 증명한다. 이 구성은 원점에서 단 하나의 비엄밀히 피졸콘벡스 점을 가지며, 그 점에서 3-비퇴화임이 입증된 컴팩트한 실대수적 초곡면을 사용한다. 이는 CR 기하학과 복소다변수 해석학을 통해 비상수 헬름로픽 사상의 방해를 초래한다.

ABSTRACT

We show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into a sphere in $\bC^{N+1}$ for any $N$. In fact, we show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into any compact, strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurface.

연구 동기 및 목표

• 모든 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면이 어떤 $\mathbb{C}^{N+1}$ 의 구에 국소적으로 헬름로픽으로 매장될 수 있는지 여부에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• 모든 컴팩트, 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면에 비상수 헬름로픽 사상이 존재하지 않는 그런 초곡면의 구체적 예를 제시하는 것.
• 이전 연구에서 사용된 비구성적 방법과 대비하여, 구성적이고 대수기하학적 방법으로 매장 가능성의 장애를 제공하는 것.
• 레비 비퇴화 케이스를 넘어서 엄밀히 피졸콘벡스 상황으로 국소 매장 가능성의 장애를 이해하는 데 기여하는 것.

제안 방법

• 엄밀히 펄리스하모닉 다항식 $\rho = -\text{Im}\,w + P$ 의 영점으로서 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에 포함된 실대수적 초곡면 $M$ 을 구성한다. 여기서 $P$ 는 차수 4의 동차다항식이며, 큰 양의 매개변수 $R$ 을 가진다.
• 원점 이외의 점들에서 $M$ 이 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스임을 보이고, 원점에서만 약간 피졸콘벡스이지만 3-비퇴화임을 증명한다.
• CR 벡터장 $L_j = \partial/\partial\bar{z}_j - 2i P_{\bar{z}_j} \partial/\partial\bar{w}$ 를 사용하여 레비 형식의 고차 도함수를 계산하고, 원점에서의 3-비퇴화성을 확인한다.
• $\Phi$ 를 선형 분수 변환으로 하여 $M \setminus \{(0,0)\/}$ 을 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 닫혀 있고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면인 $\hat{M}$ 으로 매핑하고, 비상수 사상에 대한 장애를 유지한다.
• 모든 $\hat{M}$ 에서 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면으로의 헬름로픽 사상은 $M$ 으로 연장되며, 원점에서의 비퇴화 조건으로 인해 반드시 상수여야 한다는 점을 이용한다.
• 실대수적 초곡면으로의 헬름로픽 사상의 대수성에 기반하여, 다중값 함수일지라도 전역 연장이 가능함을 보장하고, 이는 비상수 사상에 대해 모순을 이끌어내기 위해 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면은 어떤 $N$ 에 대해서도 $\mathbb{C}^{N+1}$ 의 구에 국소적으로 헬름로픽으로 매장될 수 있는가?
• RQ2 모든 컴팩트, 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면에 비상수로 사상될 수 없는 엄밀히 피졸콘벡스, 실대수적 초곡면이 존재하는가?
• RQ3 매장 가능성의 장애를 대수적 및 복소다변수 해석적 방법을 통해 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면이 존재하며, 이는 어떤 구에도 비상수 헬름로픽 사상이 존재하지 않는가?

주요 결과

• 모든 $N$ 에 대해 $\mathbb{C}^{N+1}$ 의 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면에 비상수 헬름로픽 사상이 존재하지 않는, 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면이 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에 존재한다. 이 초곡면은 단 한 점에서만 3-비퇴화이다.
• 구성된 초곡면 $M$ 은 원점 이외의 모든 점에서 엄밀히 피졸콘벡스이며, 원점에서만 약간 피졸콘벡스이지만 3-비퇴화되어 있어 비상수 헬름로픽 사상의 방해가 된다.
• 변환 $\Phi$ 는 $M \setminus \{(0,0)\/}$ 을 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 닫혀 있고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 초곡면인 $\hat{M}$ 으로 매핑하며, 이는 매장 불가능성 성질을 그대로 이어받는다.
• $\hat{M}$ 에서 $\mathbb{C}^{N+1}$ 의 구로의 국소적 헬름로픽 사상은 원점에서의 장애로 인해 반드시 상수여야 한다.
• 결과적으로 이는 모든 구로의 국소 매장 가능성에 대한 구성적이고 대수기하학적 반례를 제공하며, 이는 이전 연구에서 사용된 비구성적 증명과 대비된다.
• 장애의 근본 원인은 원점에서의 3-비퇴화성에 기인하며, 이는 어떤 컴팩트하고 엄밀히 피졸콘벡스이며 실대수적 목표로의 비상수 헬름로픽 사상이 존재하지 않게 한다.