[논문 리뷰] On the existence of non-hyperbolic ergodic measures as the limit of periodic measures

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 강력한 동역학적 설정에서, 비초월성의 에르고딕 측도가 초월성 주기 측도의 약한* 수렴으로 존재함을 확립한다: 초월성의 비정칙성과 함께 존재하는 강력한 전이성 미분형과 강력한 사이클을 갖는 미분형에서이다. [G]에서의 샤로잉 보조정리(lemma)를 이용해, 동역학을 변형하지 않고 중심 리아푸노프 지수의 값이 0으로 수렴하는 주기 궤도를 구성함으로써, 이러한 비초월성 측도—전체 다변량 또는 컴acts한 불변 집합 위에 지지되는 측도—가 주기 궤도의 수렴으로서 나타남을 증명한다.

ABSTRACT

[GIKN] and [BBD1] propose two very different ways for building non hyperbolic measures, [GIKN] building such a measure as the limit of periodic measures and [BBD1] as the $ω$-limit set of a single orbit, with a uniformly vanishing Lyapunov exponent. The technique in [GIKN] was essentially used in a generic setting, as the periodic orbits were built by small perturbations. It is not known if the measures obtained by the technique in [BBD1] are accumulated by periodic measures. In this paper we use a shadowing lemma from [G]: $\bullet$for getting the periodic orbits in [GIKN] without perturbing the dynamics, $\bullet$for recovering the compact set in [BBD1] with a uniformly vanishing Lyapunov exponent by considering the limit of periodic orbits. As a consequence, we prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{U}$ of the set of robustly transitive non-hyperbolic diffeomorphisms far from homoclinic tangencies, such that for any $f\in\mathcal{U}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure with full support and approximated by hyperbolic periodic measures. We also prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{V}$ of the set of diffeomorphisms exhibiting a robust cycle, such that for any $f\in\mathcal{V}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure approximated by hyperbolic periodic measures.

연구 동기 및 목표

• 비초월성의 에르고딕 측도가 [BBD1] 방법을 통해 구성되며, 중심 리아푸노프 지수가 0인 ω-극한집합으로서 구성된 경우, 주기 측도에 의해 근사될 수 있는지에 대한 열린 질문을 해결한다.
• 비초월성의 에르고딕 측도가 [GIKN] 기준에 의해 구성되며, 약한* 수렴으로서 주기 측도의 수렴으로서 구성되는 경우, 동역학을 변형하지 않고 실현될 수 있는지 보여준다.
• 두 개별적인 비초월성 측도의 구성 방법을 통합하여, 열린 및 조밀한 기하 조건 하에서 둘 다 초월성 주기 측도의 수렴으로서 실현될 수 있음을 증명한다.
• 이러한 비초월성의 에르고딕 측도가 전체 다변량 위에 지지되고, 중심 리아푸노프 지수가 0으로 수렴하는 주기 궤도에 의해 근사됨을 확립한다.

제안 방법

• 강력한 사이클의 근처에서 동역학을 변형하지 않고, [G]의 샤로잉 보조정리를 적용하여 주기 궤도를 구성한다.
• [GIKN] 기준(참고: [BDG, 보조정리 2.5])을 이용해 주기 측도의 약한* 수렴이 비초월성의 에르고딕 측도임을 보장한다.
• 중심 리아푸노프 지수가 지수적으로 0으로 수렴하는 초월성 주기 궤도의 수열을 구성함으로써, 극한 측도가 비초월성임을 보장한다.
• [BBD1]의 '모든 척도에서 제어 가능' 조건을 이용해, 중심 리아푸노프 지수가 0인 컴팩트 불변 집합을 주기 궤도의 하우스도르프 수렴으로 복원한다.
• 리아푸노프 지수 함수의 균일 연속성과 안정/불안정 다변량의 균일한 크기를 이용해, 주기 궤도 간의 호모클리닉 관계를 확보한다.
• 보조정리 2.3을 적용하여, 주기 궤도 위의 딜라 측도가 전체 다변량 위에 지지된 비초월성의 에르고딕 측도로 수렴함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비초월성의 에르고딕 측도가 [BBD1]의 ω-극한집합 방법으로 구성된 경우, 주기 측도에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ2 [GIKN]의 주기 궤도 구성법이 샤로잉 기법을 이용해 동역학을 변형하지 않고 실현될 수 있는가?
• RQ3 강력한 전이성의 비초월성 미분형의 열린 및 조밀한 부분집합에서, 전체 다변량 위에 지지된 비초월성의 에르고딕 측도가 주기 측도의 약한* 수렴으로서 나타나는가?
• RQ4 [BBD1]에서 중심 리아푸노프 지수가 0인 컴팩트 불변 집합이 주기 궤도의 하우스도르프 수렴으로 복원될 수 있는가?
• RQ5 중심 리아푸노프 지수가 0으로 수렴하는 궤도 위에 지지된 주기 측도의 약한* 수렴 측도가 동일한 컴팩트 집합 위에 지지된 에르고딕 측도를 유도하는가?

주요 결과

• 초월성의 비정칙성과 함께 존재하는 강력한 전이성의 비초월성 미분형의 열린 및 조밀한 부분집합 𝒰 에 대해, 각 f ∈ 𝒰 에 대해 전체 다변량 위에 지지된 비초월성의 에르고딕 측도가 존재하며, 이는 초월성 주기 측도의 약한* 수렴이다.
• 강력한 사이클을 갖는 미분형의 열린 및 조밀한 부분집합 𝒱 의 각 f 에 대해, 비초월성의 에르고딕 측도가 존재하며, 이는 초월성 주기 측도의 약한* 수렴이다.
• 샤로잉 보조정리를 통해 구성된 주기 궤도의 수열은 중심 리아푸노프 지수가 지수적으로 0으로 수렴하며, 이는 극한 측도가 비초월성임을 보장한다.
• 주기 궤도의 하우스도르프 수렴은 [BBD1]의 컴팩트 불변 집합 K′_f 를 포함하며, 이 집합은 중심 리아푸노프 지수가 0인 비초월성의 에르고딕 측도를 지지한다.
• 주기 측도의 약한* 수렴 측도는 항상 K′_f 위에 지지되거나 유일한 주기 측도이므로, 극한 측도는 에르고딕이면서 비초월성임을 의미한다.
• 극한 비초월성의 에르고딕 측도의 지지집합은 전체 다변량 M 이며, 이는 ε_n → 0 인 ε_n-밀도 근사에 기반한 주기 궤도의 근사로 인해 성립한다.