[논문 리뷰] On the existence of $W^{1,2}_{p}$ solutions for fully nonlinear parabolic equations under either relaxed or no convexity assumptions

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 해시안에 대해 힘의 함수가 볼록성 또는 준복합성을 요구하지 않고도 $W^{1,2}_p$ 해의 존재성을 확립한다. 큰 $|D^2v|$ 에서 이완된 볼록성과 VMO 유형 조건을, 유계인 $|D^2v|$ 에서는 타원성 조건을 사용하여, 최소한의 구조적 가정 하에 소볼레프 공간에서 사전 추정과 해의 존재성을 증명한다. 이는 이전 결과를 비볼록 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We establish the existence of solutions of fully nonlinear parabolic second-order equations like $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$ in smooth cylinders without requiring $H$ to be convex or concave with respect to the second-order derivatives. Apart from ellipticity nothing is required of $H$ at points at which $|D^{2}v|\leq K$, where $K$ is any fixed constant. For large $|D^{2}v|$ some kind of relaxed convexity assumption with respect to $D^{2}v$ mixed with a VMO condition with respect to $t,x$ are still imposed. The solutions are sought in Sobolev classes. We also establish the solvability without almost any conditions on $H$, apart from ellipticity, but of a "cut-off" version of the equation $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$.

연구 동기 및 목표

• 해시안이 $D^2v$ 에 대해 볼록성 또는 준복합성이 아닐 때도 $W^{1,2}_p$ 해의 존재성을 확립하는 것.
• 해시안 $H$ 가 이阶 도함수에 대해 볼록성 가정을 완화하거나 제거하는 것.
• 타원성과 큰 $|D^2v|$ 에서의 이완된 볼록성-VMO 조건만을 포함한 최소한의 구조 조건 하에서 소볼레프 공간에서의 해법 가능성 증명.
• 타원성 이외의 최소한의 가정을 초과하여도 '컷오프' 형태의 방정식에 대해 해법 가능성의 이론을 확장하는 것.
• 비점성 해 이론이나 확률적 게임 이론에 의존하지 않고, $W^{1,2}_p$ 프레임워크에서 사전 추정과 존재성 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 해시안을 $H = F + G$ 로 분해하여, $F$ 는 이완된 볼록성 조건을 만족하고, $G$ 는 통제 가능한 방식으로 작다.
• 시간과 공간 변수에 대해 $F$ 에 대해 VMO 유형 조건을 도입하여, 작은 포물형 실린더에서 진동 제어를 보장한다.
• $p > d+1$ 에서 $W^{1,2}_p$ 에서의 사전 추정을 위해 약한 역 힐버트 부등식과 정밀 함수 기법을 활용한다.
• 해시안 $H(u', 0, t, x)$ 를 부드러운 함수 $\eta_n$ 을 사용해 잘라내는 절차를 적용하여 일반적인 $g \in W^{1,2}_p$ 에 대한 근사가 가능하도록 한다.
• $W^{1,2}_p$ 에서 등연속성과 약한 컴actness 를 확보하여 극한을 취하고 해를 얻는다.
• 정밀 함수 추정과 최대 함수 기법을 사용하여 도함수의 $L^p$ 노름을 제어하며, 부록의 정리 7.1과 7.2에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해시안 $H$ 가 $D^2v$ 에 대해 볼록성 또는 준복합성이 아닐 때도 완전 비선형 포물형 방정식에 대해 $W^{1,2}_p$ 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 해시안 $H$ 에 대해 어떤 구조적 가정이 비볼록성 없이도 소볼레프 공간에서의 해법 가능성 보장에 충분한가?
• RQ3 이완된 볼록성 조건과 VMO 유형 조건을 병행할 경우 사전 추정과 존재성 결과를 확보할 수 있는가?
• RQ4 타원성 이외의 최소한의 가정을 초과하여도 '컷오프' 형태의 방정식에 대해 해법 가능성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 비볼록성의 조건에서 비점성 해 이론의 프레임워크를 초월하여 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• $p > d+2$ 에서 방정식 $\partial_t u + H(v, Dv, D^2v, t, x) = 0$ 이 (1.2)의 $H$ 를 갖는 경우, 영 boundary 조건 하에 $W^{1,2}_p(\Pi)$ 에서 유일한 해가 존재한다.
• 해시안이 $D^2v$ 에 대해 볼록성 또는 준복합성이 아닐 때도 해가 존재하며, 예를 들어 $H(D^2u, x) = \bar{G}(t,x) \wedge |D_{12}u| + \cdots + \Delta u - f(t,x)$ 와 같은 예시로 확인된다.
• 사전 추정 (1.5) 는 $p > d+1$ 에서 성립하며, 상수는 $d, p, \delta, K_F, K_0$ 및 $F$ 와 $g$ 의 연속성 모듈러스에만 의존한다.
• 결과는 근사에 대해 강건하다: $g \in W^{1,2}_p(\Pi)$ 에 대해 근사와 약한 컴 pactness 논증을 통해 해가 존재한다.
• 이론은 확률적 게임 이론이나 비점성 해 이론에 의존하지 않으며, 비볼록 방정식에 대한 직접적인 PDE 접근법을 제공한다.
• 핵심적인 기술적 혁신은 컷오프 해시안과 정밀 함수 추정을 사용하여 진동을 제어하고, 볼록성이 없이도 $L^p$ 유계성을 도출하는 데 있다.