[논문 리뷰] On the exotic De-Rham cohomology. Perturbation theory as a spectral sequence

Sergey Novikov|ArXiv.org|2002. 01. 09.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 리만 다양체 위에서 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ 형태의 변형된 미분 연산자들을 사용하여 두 가지 새로운 호몰로지 불변량—제1종과 제2종 이질적 드 라함 코호몰로지—를 도입한다. 닫힌 1-형식 $ \omega $에 대해 이들 이질적 베텨 수는 $ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $ 인 경우의 타원형 드 라함 코호몰로지 $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ 와 일치하며, 복소수 곡선 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ 가 대수적임과 동시에 $ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ 를 만족하는 어떤 $ \lambda_0 \neq 0 $ 가 존재하는 것은 동치임을 증명한다. 이는 스펙트럴 시퀀스와 매쓰 프로덕트를 통해 스펙트럴 이론, 모어스 이론, 대수기하학을 연결한다.

ABSTRACT

This work is dedicated to some new exotic homological constructions associated with the different Morse-type inequalities for differential forms and vector fields. It contains also survey of ideas developed by the present author in 1986 for this goal.

연구 동기 및 목표

• 콤���트 $ C^\infty $ 다양체 위에서 변형된 라플라시안 $ \Delta_{\lambda\omega} = (d_{\lambda\omega} + d^{+}_{\lambda\omega})^2 $ 의 핵을 통해 제1종 이질적 베텰 수를 정의하고 연구하는 것.
• 다른 1-형식 $ \Omega = d\omega $ 에 대해 복소수 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ 를 사용하여 메트릭에 의존하지 않는 제2종 이질적 호몰로지를 도입하고, 관련된 이질적 베텔 수를 정의하는 것.
• 닫힌 1-형식 $ \omega $ 에 대해 이질적 코호몰로지와 타원형 드 라함 코호몰로지 $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ 간의 호몰로지 동치를 확립하는 것, 여기서 $ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $.
• 복소수 곡선 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ 가 $ z_j = \exp(\lambda \oint_{\gamma_j} \omega) $ 로 매개변수화될 때, 이 곡선이 대수적임과 동시에 $ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ 를 만족하는 어떤 $ \lambda_0 \neq 0 $ 가 존재하는 것은 동치임을 증명하는 것.
• 특히 적분 가능 분할과 접촉 구조의 맥락에서 이질적 코호몰로지의 기하학적 해석을 탐색하는 것.

제안 방법

• $ \omega $ 가 1-형식일 때 $ \Lambda^* $ 위에서 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ 라는 연산자를 정의하고, 표준 드 라함 복합체에 대한 그의 변형을 고려하는 것.
• 수반 연산자 $ d^{+}_{\lambda\omega} = \pm *d_{\lambda\omega}* $ 를 구성하여, 실수 $ \lambda $ 에 대해 타원형이 되는 자기수반 연산자 $ \Delta_{\lambda\omega} = (d_{\lambda\omega} + d^{+}_{\lambda\omega})^2 $ 를 유도하는 것.
• 이질적 베텔 수 $ b^{\pm}(\lambda\omega) $ 는 $ \Delta_{\lambda\omega} $ 의 $ \mathbb{Z}_2 $-중복핵의 차원으로 정의되며, $ b'_{\lambda\omega} $ 는 복소수 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ 의 메트릭에 의존하지 않는 이질적 호몰로지 $ H^k_{\lambda\omega} $ 의 차원으로 정의된다.
• 필터링된 복합체 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ 의 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 변형 이론을 분석하고, 매쓰 프로덕트 $ d_s(a) = (\omega, \ldots, \omega, a) $ 와 관련지우는 것.
• $ \omega - \omega' = df $ 일 때, $ a \mapsto e^{\lambda f}a $ 의 게이지 변환을 적용하여, 호모로지가 같은 1-형식에 대해 이질적 호몰로지 군 간의 동형을 증명하는 것.
• 국소 좌표를 사용하여 $ \Lambda^*_{\Omega} $ 의 구조와 $ d_{\lambda\omega} $ 의 작용을 분석하고, 완전히 적분 가능한 분할 및 접촉 구조와 같은 경우를 다루는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제1종 이질적 베텔 수 $ b^{\pm}(\lambda\omega) $ 는 $ \Delta_{\lambda\omega} $ 의 핵을 통해 정의되며, 이는 고전적 드 라함 코호몰로지와 타원형 코호몰로지와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 매개변수 $ z_j = \exp(\lambda \oint_{\gamma_j} \omega) $ 로 정의된 복소수 곡선 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ 가 어떤 조건에서 대수적인가?
• RQ3 특히 적분 가능 분할과 접촉 구조의 맥락에서, 비닫힌 1-형식에 대해 이질적 호몰로지 군 $ H^k_{\lambda\omega} $ 의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 변형 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ 는 복소수 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ 내에서 스펙트럴 시퀀스와 매쓰 프로덕트와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 비정확한 1-형식에 대해, 이질적 코호몰로지 군은 위튼 유형의 모어스 이론의 스펙트럴 불변량으로서 어떻게 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 닫힌 1-형식 $ d\omega = 0 $ 인 경우, 제1종 이질적 베텔 수 $ b^{\pm}(\lambda\omega) $ 는 $ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $ 인 타원형 드 라함 코호몰로지 $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ 의 차원과 일치한다.
• 복소수 곡선 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ 는 $ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ 를 만족하는 어떤 $ \lambda_0 \neq 0 $ 가 존재할 때에만 대수적이다. 이는 대수성에 대한 위상수학적 기준을 제공한다.
• 제2종 이질적 호몰로지 $ H^k_{\lambda\omega} $ 는 $ \omega $ 와 $ \omega' $ 가 정확한 형식 $ df $ 의 차이를 가질 때, 게이지 변환 $ a \mapsto e^{\lambda f}a $ 를 통해 동형이 된다. 이는 호모토피 불변성을 보여준다.
• $ \omega \wedge d\omega = 0 $ 인 경우, 복소수 곡선의 분할이 위상적으로 복소수일 때, 이질적 1-코호몰로지 $ H^1_{\lambda\omega} $ 는 유한차원이며, 국소 좌표에서 $ r $-에 독립적인 닫힌 1-형식들로 구성된다.
• 접촉 구조에서 $ \omega = pdq + dr $, $ d\omega = dp \wedge dq $ 일 때, 이질적 코호몰로지 $ H^1_{\lambda\omega} $ 는 국소적으로 복소수 곡선의 경우와 동형이지만, $ dr $ 가 전역적으로 닫히지 않아 궤도를 따라 지수 감소가 발생한다.
• $ \lambda = -1 $ 은 이질적 코호몰로지의 점프 포인트이다: $ \alpha \in H^1_{-\omega} $ 가 비자명한 코사이클이 되기 위한 필요충분조건은 $ \alpha = 0 $ 이 완전히 적분 가능한 분할을 정의하는 것이다. 이는 이질적 코호몰로지가 분할 이론과 연결됨을 보여준다.