[논문 리뷰] On the Expressiveness of LARA: A Unified Language for Linear and Relational Algebra

Pablo Barceló, Nelson Higuera외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 25.

Advanced Database Systems and Queries참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 대수와 관계 대수를 통합한 언어인 Lara의 표현 능력을 조사하여, 집계를 포함한 일阶논리에 대해 표현 완전성을 보여준다. 연구 결과, Lara는 많은 데이터베이스 및 머신러닝 연산을 표현할 수 있지만, 일반성과 국소성 조건 하에서 행렬 컨볼루션 또는 역행렬을 표현할 수는 없으며, 복잡도 가정 없이 표현 불가능성을 증명하는 것은 여전히 도전적인 과제임을 밝혀냈다.

ABSTRACT

We study the expressive power of the LARA language -- a recently proposed unified model for expressing relational and linear algebra operations -- both in terms of traditional database query languages and some analytic tasks often performed in machine learning pipelines. We start by showing LARA to be expressive complete with respect to first-order logic with aggregation. Since LARA is parameterized by a set of user-defined functions which allow to transform values in tables, the exact expressive power of the language depends on how these functions are defined. We distinguish two main cases depending on the level of genericity queries are enforced to satisfy. Under strong genericity assumptions the language cannot express matrix convolution, a very important operation in current machine learning operations. This language is also local, and thus cannot express operations such as matrix inverse that exhibit a recursive behavior. For expressing convolution, one can relax the genericity requirement by adding an underlying linear order on the domain. This, however, destroys locality and turns the expressive power of the language much more difficult to understand. In particular, although under complexity assumptions the resulting language can still not express matrix inverse, a proof of this fact without such assumptions seems challenging to obtain.

연구 동기 및 목표

• Lara, 선형 및 관계 대수를 통합한 언어의 표현 능력을 논리적 쿼리 언어 및 머신러닝 연산의 관점에서 분석하기.
• 행렬 컨볼루션 및 행렬 역행렬과 같은 핵심 연산을 Lara가 표현할 수 있는 조건을 규명하기.
• 사용자 정의 함수와 도메인 순서가 Lara의 표현 완전성 및 국소성, 일반성과 같은 논리적 성질에 미치는 영향을 조사하기.
• 특히 복잡도 이론적 가정 하에 행렬 역행렬과 같은 복잡한 연산의 표현 불가능성을 증명하는 것이 가능한지 평가하기.
• 실용성을 유지하면서도 재귀적 연산(예: 행렬 역행렬)을 자연스럽게 표현할 수 있도록 Lara에 최소한의 원시 연산을 추가하는 확장 방향 탐색하기.

제안 방법

• 사용자 정의 함수의 매개변수화된 클래스를 사용하여, 집계를 포함한 체계적 문법 조건을 갖춘 일阶논리의 안전한 서브프레임트(FO_Agg)에 대해 Lara의 표현 완전성을 확립한다.
• 두 주요 케이스를 구분한다: 키 비교에 등호만 허용하고 FO에서 표현 가능한 함수를 사용하는 '온전한'(tame) Lara 버전은 강력한 일반성과 국소성을 만족한다.
• 더 표현력이 뛰어난 Lara의 변형을 도입하며, 내장된 선형 순서와 산술 함수를 포함하여 더 복잡한 연산을 가능하게 하지만, 국소성과 일반성을 해친다.
• 복잡도 이론적 추론을 적용하여, Lara의 제한된 서브프레임트에서 행렬 역행렬을 표현할 경우 Logspace = Det라는 매우 불가능한 복잡도 이론적 붕괴를 암시함을 보여준다.
• Ehrenfeucht-Fraïssé 게임을 사용하여 순서가 있는 설정에서 표현 불가능성을 증명할 수 있는 잠재적 기법을 제시하지만, 조합적 난이도가 매우 높다.
• 향후 연구 방향으로는 온전한 서브프레임트에 컨볼루션 또는 역행렬과 같은 특정 연산자를 추가하여 재귀적 표현력을 확보하기 위한 최소한의 확장 연구를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lara는 집계를 포함한 일阶논리에서 표현 가능한 모든 쿼리를 표현할 수 있으며, 사용자 정의 함수의 조건에 따라 어떤 경우에 가능한가?
• RQ2 왜 온전한, 국소적인 Lara 버전에서는 컨볼루션을 표현할 수 없으며, 이를 표현하기 위해선 어떤 변화가 필요한가?
• RQ3 Lara의 도메인에 선형 순서를 추가하면 국소성과 일반성이 깨지며, 표현력에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 복잡도 이론적 가정 없이도 행렬 역행렬이 Lara에서 표현 불가능하다는 것을 증명하는 것이 가능한가?
• RQ5 Lara의 온전한 서브프레임트에 어떤 최소한의 확장을 통해 재귀적 연산(예: 행렬 역행렬)을 자연스럽게 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 사용자 정의 함수가 적절히 제약을 받는 조건 하에서, Lara는 집계를 포함한 일阶논리의 안전한 서브프레임트에 대해 표현 완전성을 확보한다.
• 키에 대한 등호 비교만 허용하고 FO에서 표현 가능한 함수를 사용하는 온전한 Lara 버전은 강력한 일반성과 국소성을 만족하여, 비일반적이거나 재귀적인 연산을 표현할 수 없다.
• 행렬 컨볼루션은 온전한, 국소적인 Lara 버전에서 표현할 수 없으며, 이는 강력한 일반성 요구 조건을 위반하기 때문이다.
• 도메인에 선형 순서를 추가하면 컨볼루션을 표현할 수 있지만, 국소성과 일반성이 깨지며 논리적 분석을 복잡하게 만든다.
• 표준 집계 연산자와 안전한 함수를 포함한 Lara의 서브프레임트는 Logspace에서 평가 가능하며, 이는 이 서브프레임트에서 행렬 역행렬을 표현할 경우 Logspace가 Det로 붕괴됨을 암시한다. 이는 매우 불가능한 복잡도 이론적 결과이다.
• 복잡도 가정 없이도 일반적인 순서가 있는 Lara 버전에서 행렬 역행렬의 표현 불가능성을 증명하는 것은 여전히 도전적이며, 이는 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임과 같은 기법을 적용할 경우 조합적 난이도가 매우 높기 때문이다.