[논문 리뷰] On the extinction profile of solutions to fast-diffusion

Panagiota Daskalopoulos, Nataša Šešum|ArXiv.org|2006. 09. 19.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $m \in (0, \frac{N-2}{N})$ 인 경우 $\mathbb{R}^N$ 에서의 빠른 확산 방정식 $u_t = \Delta u^m$ 의 해의 소멸 프로파일을 분석하며, 초기 데이터가 두 개의 Barenblatt 해 사이에 놓여 있을 때, 소멸 시간 $T$ 에 가까워질수록 스케일링된 해가 균일하게 및 $L^1$ 에서 Barenblatt 프로파일로 수렴함을 보여준다. 핵심 결과는 초기 데이터가 두 Barenblatt 프로파일 사이에 갇혀 있을 경우, 소멸 행동이 Barenblatt 해에 의해 지배됨을 밝힌다.

ABSTRACT

We study the extinction behavior of solutions to the fast diffusion equation $u_t = Δu^m$ on $\R^N imes (0,T)$, in the range of exponents $m \in (0, \frac{N-2}{N})$, $N > 2$. We show that if the initial data $u_0$ is trapped in between two Barenblatt solutions vanishing at time $T$, then the vanishing behaviour of $u$ at $T$ is given by a Barenblatt solution. We also give an example showing that for such a behavior the bound from above by a Barenblatt solution $B$ (vanishing at $T$) is crucial: we construct a class of solutions $u$ with initial data $u_0 = B (1 + o(1))$, near $ |x| >> 1$, which live longer than $B$ and change behaviour at $T$. The behavior of such solutions is governed by $B(\cdot,t)$ up to $T$, while for $t >T$ the solutions become integrable and exhibit a different vanishing profile. For the Yamabe flow ($m = \frac{N-2}{N+2}$) the above means that these solutions $u$ develop a singularity at time $T$, when the Barenblatt solution disappears, and at $t >T$ they immediately smoothen up and exhibit the vanishing profile of a sphere. In the appendix we show how to remove the assumption on the bound on $u_0$ from below by a Barenblatt.

연구 동기 및 목표

• 소멸 시간 $T$ 근처에서 빠른 확산 방정식 해의 점근적 행동을 이해하기 위해.
• 소멸 프로파일이 Barenblatt 해에 의해 지배되는 조건을 규명하기 위해.
• 프로파일 수렴을 위해 초기 데이터에 대해 Barenblatt 프로파일에 의한 상한과 하한이 필수적인지 조사하기 위해.
• Yamabe 흐름 케이스 ($m = \frac{N-2}{N+2}$) 를 분석하고, 특이점 발생 및 스무딩 현상에 대한 영향을 탐구하기 위해.
• 부록을 통한 구성으로 하한 Barenblatt bound 가정을 제거하고, 이 가정이 프로파일 수렴에 필수적인지 보여주기 위해.

제안 방법

• 문제를 시간 불변 방정식으로 변환하기 위해 $\tau = -\log(T-t)$ 와 함께 스케일링 $\tilde{u}(x,\tau) = (T-t)^{-\beta} u(x(T-t)^\gamma, t)$ 을 사용한다.
• 최대원리를 적용하여 초기 데이터가 두 Barenblatt 해 사이에 있을 경우 $B_{k_1}(x,t) \leq u(x,t) \leq B_{k_2}(x,t)$ 를 확립한다.
• Aronson-Benilan 부등식을 활용하여 $u^m(x,t)$ 에 대한 점별 bound 를 $B^m(x,t)$ 와 $L^1$-편미분에 따라 유도한다.
• 반경대칭 상한 및 하한 환경 $\underline{u}_0(r)$, $\overline{u}_0(r)$ 와의 비교 원리를 사용하여 반경대칭 결과를 비반경대칭 초기 데이터로 확장한다.
• $(r^2 + 1)^{-1/(1-m)}$ 에 따라 $\tilde{u}(x,\tau)$ 의 균일한 유계성을 확립하여 Barenblatt 프로파일로의 수렴을 이끌어낸다.
• 계수 $\tilde{a}(x,\tau)$ 가 $\tilde{C}_1(r^2+1) \leq \tilde{a} \leq \tilde{C}_2(r^2+1)$ 를 만족하는 선형화된 방정식을 통해 $\tilde{u} - \tilde{B}$ 의 차이를 분석하여 수렴 증명을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빠른 확산 해의 소멸 프로파일이 Barenblatt 해로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 초기 데이터에 대한 Barenblatt 해에 의한 상한이 프로파일 수렴에 필수적인가?
• RQ3 초기 데이터가 Barenblatt 프로파일에 점 渐진적으로 가까이 있지만 그 위에 놓여 있지 않을 경우 해의 행동은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 경계 Barenblatt 해의 소멸 시간 $T$ 이후에 존재하는 해는 어떻게 되는가?
• RQ5 초기 데이터에 하한 Barenblatt bound 를 가정하는 조건을 제거할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• $\frac{N-4}{N-2} < m < \frac{N-2}{N}$ 인 경우, 초기 데이터 $u_0$ 가 두 Barenblatt 해 사이에 놓여 있을 때, 스케일링된 해 $\tilde{u}$ 는 균일하게 및 $L^1$ 에서 유일하게 $k_0$ 에 의해 결정되는 Barenblatt 프로파일 $\tilde{B}_{k_0}$ 로 수렴하며, 질량 보존에 의해 $k_0$ 가 유일하게 결정된다: $\int u_0 \, dx = \int B_{k_0} \, dx$.
• $0 < m \leq \frac{N-4}{N-2}$ 인 경우, $u_0 = B_{k_0} + f$ 이고 $f \in L^1$ 이면, $\tilde{u}$ 는 균일하게 $\tilde{B}_{k_0}$ 로 수렴함을 보여주며, 이는 프로파일이 $L^1$-편미분에 의해 결정됨을 시사한다.
• 무한대에서 $u_0 = B(1 + o(1))$ 이지만 $u$ 가 $B$ 보다 오래 지속되는 예를 구성함. $t > T$ 에서는 $u$ 가 적분 가능해지고 다른 소멸 프로파일을 보임.
• Yamabe 흐름 ($m = \frac{N-2}{N+2}$) 의 경우, $T$ 에서 소멸하고 $T$ 이후에 존재하는 해는 즉각적으로 스무딩되어 구형 소멸 프로파일을 보임.
• 수렴 결과를 위해 필수적인 성장 조건 $u_0(x) \sim \left(\frac{C^* T}{|x|^2}\right)^{1/(1-m)}$ 가 $|x| \to \infty$ 일 때 필요함; 이 조건이 없으면 프로파일이 Barenblatt 가 아닐 수 있음.
• 부록에서는 $u_0 = B_{k_0} + f$, $f \in L^1$ 인 해를 구성하고 $\tilde{B}_{k_0}$ 로의 수렴을 증명함으로써 하한 Barenblatt bound 를 가정하는 조건을 제거할 수 있음을 보여줌.