[논문 리뷰] On the Field Theoretical Approach to the Anomalous Scaling in Turbulence

A. Runov|arXiv (Cornell University)|1999. 06. 15.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 및 무한 차원에서 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식에 장 이론적 방법을 적용하여, 음의 임계 차원을 가진 무한 개의 갈릴레이 불변 복합 연산자 집합의 존재를 입증한다. 이는 구조 함수의 비정상적 스케일링을 지지하며, 에너지 소산 제곱과 관련된 최하위 연산자(저급 연산자)는 1차 엡실론 전개에서 명시적으로 계산되었으며, d=2에서 매우 음의 임계 차원을 보이고 d→∞로 갈수록 임계 차원이 0으로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

Anomalous scaling problem in the stochastic Navier-Stokes equation is treated in the framework of the field theoretical approach, successfully applied earlier to the Kraichnan rapid advection model. Two cases of the space dimensions d=2 and d->infinity, which allow essential simplification of the calculations, are analysed. The presence of infinite set of the Galilean invariant composite operators with negative critical dimensions in the model discussed has been proved. It allows, as well as for the Kraichnan model, to justify the anomalous scaling of the structure functions. The explicit expression for the junior operator of this set, related to the square of energy dissipation operator, has been found in the first order of the epsilon-expansion. Its critical dimension is strongly negative in the two dimensional case and vanishes while d->infinity.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식의 비정상적 스케일링 문제를 장 이론적 기법을 사용하여 다루기.
• 크라이히난의 빠른 광범위한 확산 모델에서 성공한 장 이론적 접근을 나비에-스토크스 시스템으로 확장하기.
• 이론 내 복합 연산자의 구조를 분석하고, 특히 그들의 임계 차원을 조사하기.
• 갈릴레이 불변 복합 연산자 집합 중 음의 임계 차원을 가진 무한 개의 존재를 확립하기.
• 에너지 소산률 제곱과 관련된 최저 차원 연산자의 임계 차원을 엡실론 전개에서 계산하기.

제안 방법

• 크라이히난 모델에 이전에 사용된 장 이론적 접근을 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식에 적용하기.
• 해석적 단순화가 일어나는 두 가지 극한 경우에 집중하기: d=2 및 d→∞.
• 갈릴레이 변환에 대해 불변인 복합 연산자 식별하기.
• 엡실론 전개 방법을 사용하여 복합 연산자의 임계 차원을 섭동적으로 계산하기.
• 에너지 소산률 제곱에 비례하는 연산자의 임계 차원 계산하기.
• 최하위 연산자의 임계 차원이 d=2에서는 매우 음수이며, d→∞ 극한에서 0으로 수렴함을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크라이히난 모델에 사용된 장 이론적 프레임워크가 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식에 적용 가능한가?
• RQ2 나비에-스토크스 모델에서 음의 임계 차원을 가진 갈릴레이 불변 복합 연산자가 무한히 존재하는가?
• RQ3 에너지 소산률 제곱과 관련된 최저 차원 복합 연산자의 임계 차원은 무엇인가?
• RQ4 이 연산자의 임계 차원은 두 차원과 무한 차원 극한에서 어떻게 다르게 행동하는가?
• RQ5 이러한 연산자의 존재가 난류에서의 비정상적 스케일링을 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• 스토하스틱 나비에-스토크스 모델 내에서 음의 임계 차원을 가진 갈릴레이 불변 복합 연산자 집합이 무한히 존재한다.
• 에너지 소산률 제곱에 비례하는 최하위 연산자의 임계 차원은 두 차원 공간에서 매우 음수이다.
• d→∞ 근처에서 이 연산자의 임계 차원은 0으로 수렴하며, 스케일링 행동의 변화를 나타낸다.
• 장 이론적 접근은 모델에서 비정상적 스케일링을 성공적으로 정당화하며, 크라이히난 모델과 유사하다.
• 임계 차원의 명시적 계산은 엡실론 전개의 1차에서 수행되었다.
• 결과는 비정상적 스케일링이 음의 임계 차원을 가진 복합 연산자의 존재에서 기인한다는 물리적 해석을 지지한다.