[논문 리뷰] On the Fine-grained Complexity of One-Dimensional Dynamic Programming

Marvin Künnemann, Ramamohan Paturi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 02.

Optimization and Search Problems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일차원 동적 프로그래밍 문제를 위한 미세 복잡도 프레임워크를 제안하며, 주로 최소 무게 부분수열(LWS) 문제에 초점을 맞춘다. SETH 하에서 최소 내적 문제 및 pmin, `q-결합 문제와 같은 핵심 문제들과의 하위제곱 등가성을 규명함으로써, 저자들은 LWS의 다양한 변종이 가지는 본질적 난이도를 설명하고, 이들의 복잡도 분석을 통합한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the complexity of one-dimensional dynamic programming, or more specifically, of the Least-Weight Subsequence (LWS) problem: Given a sequence of $n$ data items together with weights for every pair of the items, the task is to determine a subsequence $S$ minimizing the total weight of the pairs adjacent in $S$. A large number of natural problems can be formulated as LWS problems, yielding obvious $O(n^2)$-time solutions. In many interesting instances, the $O(n^2)$-many weights can be succinctly represented. Yet except for near-linear time algorithms for some specific special cases, little is known about when an LWS instantiation admits a subquadratic-time algorithm and when it does not. In particular, no lower bounds for LWS instantiations have been known before. In an attempt to remedy this situation, we provide a general approach to study the fine-grained complexity of succinct instantiations of the LWS problem. In particular, given an LWS instantiation we identify a highly parallel core problem that is subquadratically equivalent. This provides either an explanation for the apparent hardness of the problem or an avenue to find improved algorithms as the case may be. More specifically, we prove subquadratic equivalences between the following pairs (an LWS instantiation and the corresponding core problem) of problems: a low-rank version of LWS and minimum inner product, finding the longest chain of nested boxes and vector domination, and a coin change problem which is closely related to the knapsack problem and (min,+)-convolution. Using these equivalences and known SETH-hardness results for some of the core problems, we deduce tight conditional lower bounds for the corresponding LWS instantiations. We also establish the (min,+)-convolution-hardness of the knapsack problem.

연구 동기 및 목표

• 일차원 동적 프로그래밍 문제들이 언제 하위제곱 시간 알고리즘을 갖는지 이해하기 위해.
• 요약 표현된 LWS 문제들 내재된 계산적 장벽을 규명하기 위해.
• 미세 복잡도 이론을 활용해 LWS 변종에 대한 조건부 하한을 설정하기 위해.
• 핵심 문제들에 대한 하위제곱 등가성을 통해 다양한 LWS 문제들의 복잡도를 통합하기 위해.
• 일부 LWS 변종이 거의 선형 시간 내에 해결 가능한 이유를 그에 해당하는 핵심 문제들의 해법 가능성으로 설명하기 위해.

제안 방법

• 요약된 LWS 변종의 미세 복잡도를 분석하기 위한 일반적 프레임워크를 제안한다.
• 각 LWS 변종과 하위제곱 등가인 '핵심 문제'를 규명한다.
• 하위제곱 등가성을 통해 알려진 어려운 핵심 문제들로부터 조건부 하한을 이전한다.
• 핵심 문제들(SETH 기반의 난이도 결과, 예: 최소 내적 문제, pmin, `q-결합 문제)의 난이도 결과를 LWS 변종에 적용한다.
• 기존의 거의 선형 시간 내에 해결 가능한 LWS 문제들을 재검토하고, 그 핵심 문제들의 단순성에 기반해 그 해법 가능성의 이유를 설명한다.
• 감소와 재구성 기법을 활용해 LWS를 낙관, LIS, 무제한 부분합 문제와 같은 고전 문제들과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LWS 문제들이 언제 하위제곱 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 어떤 LWS 변종이 본질적으로 어려운가, 그리고 그 이유는 무엇인가?
• RQ3 하위제곱 등가성을 어떻게 활용해 핵심 문제들로부터 LWS에 조건부 하한을 이전할 수 있는가?
• RQ4 일부 LWS 문제들은 명백한 복잡도에도 불구하고 왜 거의 선형 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ5 핵심 문제는 LWS 변종의 복잡도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 저자는 낮은 랭크 LWS와 최소 내적 문제 사이의 하위제곱 등가성을 확립함으로써, 이에 따라 SETH 난이도를 갖는다고 밝혔다.
• 저자는 날개 없는 코인 교환 문제(냅색 문제 관련)가 pmin, `q-결합 문제 난이도를 갖는다고 증명하여, 엄밀한 조건부 하한을 설정했다.
• 냅색 문제의 경우 pmin, `q-결합 문제 난이도를 갖는다고 증명하여, 그 어려움에 대한 새로운 복잡도 설명을 제시했다.
• 가장 긴 증가 부분수열(LIS) 문제는 정적 LWS 변종으로의 감소를 통해 정렬 문제로 환원됨을 보여, Õ(n) 시간 내에 해결 가능하다고 밝혔다.
• 무제한 부분합 문제의 경우 단일 컨볼루션 계산을 통해 Õ(n) 시간 내에 해결 가능하다고 밝혀, 거의 선형 시간 내의 해결 가능성에 대한 설명을 제공했다.
• 오목 LWS 문제의 경우 SMAWK 알고리즘을 이용한 전체 모나토닉 행렬에 기반해 Õ(n) 시간 내에 해결 가능하며, 이는 핵심 문제의 단순성에 기인한 효율성의 이유를 설명한다.