[논문 리뷰] On the finite element approximation of a semicoercive Stokes variational inequality arising in glaciology

Gonzalo G. de Diego, Patrick E. Farrell외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 30.

Cryospheric studies and observations인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 빙하학에서 발생하는 반강철성 스토크스 변분부등식을 해결하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 혼합 유한요소 형식을 제시한다. 이는 빙하류의 융해선 역학을 모델링한다. 강체 모드 위상에 대한 새로운 투영 연산자와 코른 유형 부등식을 통해 강체 모드가 존재하는 상황에서도 최적 수렴 속도를 확보하였으며, 제조된 해를 통한 수치적 검증이 이루어졌다.

ABSTRACT

Stokes variational inequalities arise in the formulation of glaciological problems involving contact. We consider the problem of a two-dimensional marine ice sheet with a grounding line, although the analysis presented here is extendable to other contact problems in glaciology, such as that of subglacial cavitation. The analysis of this problem and its discretisation is complicated by the nonlinear rheology commonly used for modelling ice, the enforcement of a friction boundary condition given by a power law, and the presence of rigid modes in the velocity space, which render the variational inequality semicoercive. In this work, we consider a mixed formulation of this variational inequality involving a Lagrange multiplier and provide an analysis of its finite element approximation. Error estimates in the presence of rigid modes are obtained by means of a specially-built projection operator onto the subspace of rigid modes and a Korn-type inequality. These proofs rely on the fact that the subspace of rigid modes is at most one-dimensional. Numerical results are reported to validate the error estimates.

연구 동기 및 목표

• 빙하학에서의 스토크스 변분부등식 유한요소 이산화에 대한 공식적인 수학적 분석 부족 문제를 다루기 위해.
• 강체 모드(문제를 반강철성으로 만드는 원인), 비선형 얼음 유변학, 거칠기 법칙 법칙 경계 조건 등으로 인한 도전 과제를 극복하기 위해.
• 접촉 조건을 정확히 강제하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 구조를 유지하는 혼합 유한요소 형식을 개발하기 위해.
• 특수 투영 연산자를 구성하고 코른 유형 부등식을 활용하여 강체 모드 존재 하에 엄밀한 오차 추정을 수립하기 위해.

제안 방법

• 융해선에서의 접촉 조건을 약하게 강제하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 혼합 변분형식을 제안하여 이산적 비침투 조건을 만족시키도록 보장한다.
• 일차원 강체 모드 부분공간 위에 투영하는 데 사용되는 새로운 투영 연산자를 도입하며, 이는 오차 분석에 필수적인 코른 유형 부등식을 만족한다.
• 변분부등식 내에서 비선형 비뉴턴류 얼음의 유변학을 다루기 위해 오르리치 공간 이론과 N-함수 분석 기법을 활용한다.
• 안정성과 이산 인프-서프 조건에서의 균일 유계성을 확보하기 위해 포르틴 유형의 연산자 구성 기법을 사용한다. 이는 수렴에 있어 핵심적인 요소이다.
• 가장 좋은 근사 오차 추정을 가중치가 부여된 리만-레베그 및 소볼레프 공간에서 적용하여 속도, 압력, 라그랑주 승수의 수렴 속도를 유도한다.
• 제조된 해를 사용하여 이론적 결과를 수치적으로 검증한다. 유한요소 스킴은 제곱형 속도, 조각별 상수 압력 및 승수를 사용한다.

Figure 1: Geometry of the problem under consideration. The domain $\Omega$ represents a half of a symmetric marine ice sheet. The boundary of $\Omega$ is partitioned into $\Gamma_{b}$ (the ice-bedrock interface), $\Gamma_{s}$ (the ice-ocean and ice-atmosphere interface), and $\Gamma_{d}$ (the symmet

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해양 빙하 시스템 역학에서 발생하는 반강철성 스토크스 변분부등식을 정확하고 안정적으로 이산화할 수 있는 유한요소 방법은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 강체 모드는 빙하학에서 접촉 문제의 유한요소 근사 수렴 거동에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 강체 모드 위상에 투영하는 연산자를 구성할 수 있는가? 이는 코른 유형 부등식을 만족하여 반강철성 문제에서 최적 오차 추정을 가능하게 하는가?
• RQ4 비선형 유변학과 거칠기 법칙 경계 조건은 유한요소 스킴의 수렴에 어떤 영향을 미치며, 이러한 조건들은 혼합형식 내에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ5 라그랑주 승수를 사용하는 혼합형식은 기존 형식 대비 융해선 위치의 해상도를 어느 정도 향상시키는가?

주요 결과

• 일차원 강체 모드 부분공간 위에 투영하는 새로운 연산자를 구성하였으며, 이는 코른 유형 부등식을 만족하고 반강철성 설정에서 오차 추정을 가능하게 한다.
• 강체 모드 부분공간의 치수 최대 1차원이라는 가정 하에, 속도, 압력, 라그랑주 승수에 대해 최적 수렴 속도가 증명되었다.
• 라그랑주 승수를 사용하는 혼합형식은 반올림 오차 수준까지 이산적으로 접촉 조건을 강제하며, 부착 영역과 분리 영역을 정확히 구분할 수 있도록 한다.
• 제조된 해를 사용한 수치 실험을 통해 제곱형 속도와 조각별 상수 압력/라그랑주 승수 스킴이 예측된 수렴 속도를 확인하였다.
• 분석은 빙하 아래의 공극 형성 문제 등 유사 문제로 확장되었으며, 해양 빙하 시스템 외부에도 광범위한 적용 가능성을 보였다.
• 수렴 분석은 오르리치 연속성과 N-함수 기법에 기반하며, [4, 29]에서 제시된 방법을 비선형 얼음 유변학을 다룰 수 있도록 변형 적용하였다.