[논문 리뷰] On the finiteness of Bass numbers of local cohomology modules and Cominimaxness

Kamal Bahmanpour, Reza Naghipour외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 02.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소 호모로지 모듈러스에서 Bass 수의 유한성과 cominimaxness 간의 연관성을 조사한다. 정칙 국소환 $R$에 대해, 모든 $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$에 대해 Bass 수 $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$와 $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$가 유한하다는 것을 증명하며, $\dim R/I = 2$이면 $H^i_I(M)$의 Goldie 차원이 유한하다는 것을 확립한다. 주요 기여는 $\dim R/I = 2$일 때, $H^i_I(M)$의 Bass 수가 유한한 것과 $H^i_I(M)$가 $I$-cominimax인 것이 서로 동치라는 특성화이다.

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of cominimaxness modules with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring (cf. \cite{ANV}), and Bass numbers of local cohomology modules. Let $R$ denote a commutative Noetherian local ring and $I$ an ideal of $R$. We first show that the Bass numbers $μ^0(\frak p, H^2_I(R))$ and $μ^1(\frak p, H^2_I(R))$ are finite for all $\frak p\in \Spec R$, whenever $R$ is regular. As a consequence, it follows that the Goldie dimension of $H^2_I(R)$ is finite. Also, for a finitely generated $R$-module $M$ of dimension $d$, it is shown that the Bass numbers of $H^{d-1}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{d-1}_{I}(M))$ be minimax for all $i\geq0$. Finally, we prove that if $\dim R/I=2$, then the Bass numbers of $H^{n}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{n}_{I}(M))$ be minimax, for all $i\geq0$, where $n$ is a non-negative integer.

연구 동기 및 목표

• 노에테리안 국소환 $R$ 위의 유한생성 모듈러스 $M$에 대해 국소 호모로지 모듈러스 $H^i_I(M)$에서 Bass 수의 유한성을 조사하는 것.
• cofinite 모듈러스의 일반화인 $I$-cominimax 모듈러스의 국소 호모로지 맥락에서의 연구를 확장하는 것.
• 특히 $\dim R/I = 2$인 경우를 중심으로, 국소 호모로지 모듈러스의 Bass 수가 유한한 조건을 제공하는 것.
• $\dim R/I = 2$일 때, $H^i_I(M)$의 Bass 수의 유한성과 $I$-cominimaxness 간의 연결 고리가 되는 특성화를 확립하는 것.

제안 방법

• 모듈러스의 구조를 분석하기 위해 국소 호모로지의 정의인 $H^i_I(M) = \varinjlim_n \operatorname{Ext}^i_R(R/I^n, M)$를 사용하는 것.
• Z"{o}schinger의 등가 조건을 통해, 유한생성 부분모듈러스가 Artinian 몫을 가지는 minimax 모듈러스 개념을 적용하는 것.
• $I$-cominimax 모듈러스의 개념을 활용: $\operatorname{Supp}_R(M) \subseteq V(I)$ 이고 모든 $i \geq 0$에 대해 $\operatorname{Ext}^i_R(R/I, M)$가 minimax인 것.
• 차원 $d$인 $R$-모듈러스 $M$에 대해 $H^1_{\mathfrak{m}}(H^{d-1}_I(M))$가 Artinian임을 이용하여 $H^{d-1}_I(M)$의 구조를 통제하는 것.
• $H^i_I(M) \cong H^i_{I+\operatorname{Ann}_R(M)}(M)$의 동형을 활용하여 문제를 $\dim R/I = 2$ 또는 $3$인 경우로 축소하는 것.
• 논문 [5]의 보조정리 2.10을 적용하여, Bass 수가 무한할 경우 관련 소수의 지지부를 최대 아이디얼로 제한하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 국소환 $R$이고 $I$가 $R$의 아이디얼일 때, 모든 $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$에 대해 $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$와 $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$가 유한한가?
• RQ2 차원 $d$인 $R$-모듈러스 $M$에 대해, $H^{d-1}_I(M)$의 Bass 수가 유한한가?
• RQ3 $\dim R/I = 2$일 때, $H^i_I(M)$의 Bass 수가 유한한 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\dim R/I = 2$일 때, $H^i_I(M)$가 $I$-cominimax이기 위한 필요충분조건은 Bass 수가 유한한가?
• RQ5 $\dim R/I = 2$일 때, $\mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty$인 소수의 집합 $\mathfrak{p}$에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

주요 결과

• 정칙 국소환 $R$에 대해, 모든 $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$에 대해 $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$와 $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$는 유한하다. 이는 히운케의 추측에 대한 부분적 확인을 제공한다.
• 정칙 국소환 $R$일 때, $H^2_I(R)$의 Goldie 차원은 Bass 수의 유한성에 의해 유한하다.
• 차원 $d$인 $R$-모듈러스 $M$에 대해, $H^{d-1}_I(M)$의 Bass 수는 유한하다면 $\operatorname{Ext}^i_R(R/I, H^{d-1}_I(M))$가 모든 $i \geq 0$에 대해 minimax임과 동치이다.
• $\dim R/I = 2$일 때, $H^i_I(M)$의 Bass 수가 유한한 것과 $H^i_I(M)$가 $I$-cominimax임은 서로 동치이며, 이는 완전한 특성화를 제공한다.
• $\dim R/I = 2$일 때, $\Sigma = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid \mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty \text{ for some } i,j\}$는 가산이며 $\operatorname{Max}(R)$에 포함된다.
• $\mathfrak{m} \not\in \bigcup_{i \geq 0} \operatorname{Ass}_R(H^i_I(M))$이면, $\dim R/I = 2$일 때 모든 $j \geq 0$ 및 $i \geq 0$에 대해 $\operatorname{Ext}^j_R(R/\mathfrak{m}, H^i_I(M))$는 유한생성된다.