[논문 리뷰] On the first Banhatti-Sombor index

Zhen Lin, Ting Zhou외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 08.

Graph theory and applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 반하티-소모브 지표를 도입하고 분석한다. 이는 $BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$로 정의되는 새로운 정점 차수 기반의 위상적 지표이다. 다른 위상적 지표들과의 수학적 관계를 확립하고, 극값을 가진 나무 구조를 규명한다: 모든 나무 중에서 경로 $P_n$이 지표를 최소화하고, 별 $K_{1,n-1}$이 최대화한다. 화학적 나무의 경우, 모든 비잎이 아닌 정점의 차수가 2 또는 3이 되는 조건에서 지표가 최대가 된다. 이는 모듈로 조건을 만족할 때 성립한다.

ABSTRACT

Let $d_v$ be the degree of the vertex $v$ in a connected graph $G$. The first Banhatti-Sombor index of $G$ is defined as $BSO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{\frac{1}{d^2_u}+\frac{1}{d^2_v}}$, which is a new vertex-degree-based topological index introduced by Kulli. In this paper, the mathematical relations between the first Banhatti-Sombor index and some other well-known vertex-degree-based topological indices are established. In addition, the trees extremal with respect to the first Banhatti-Sombor index on trees and chemical trees are characterized, respectively.

연구 동기 및 목표

• 첫 번째 반하티-소모브 지표를 도입하고 조사한다. 이는 소모브 지표에서 유도된 새로운 정점 차수 기반 위상적 지표이다.
• 첫 번째 반하티-소모브 지표와 랜디치, 자그레브, 조화 지수와 같은 잘 알려진 위상적 지표들 사이의 수학적 관계를 확립한다.
• 모든 순서 $n$의 나무 중에서 첫 번째 반하티-소모브 지표를 최소화하고 최대화하는 나무를 규명한다.
• 화학적 나무에 대해 지표의 극값을 결정하며, 특히 차수 제약 조건 하에서의 성립 조건을 규명한다.

제안 방법

• 첫 번째 반하티-소모브 지표는 정점의 차수에 기반하여 공식적으로 $BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$로 정의된다.
• 저자는 조합적 항등식과 차수 분할을 사용하여 $BSO(T_n)$을 차수 $i$와 $j$를 가진 정점 간의 간선 유형 $m_{i,j}$로 표현한다.
• 논문은 레마 2.2와 레마 2.3에서 유도된 부등식을 적용하여 지표를 경계하고 극값 조건을 분석한다.
• 지표 표현식에서 계수의 부호를 분석함으로써 극값을 가진 구조를 규명한다: 양수 계수일 경우 비영인 경우 최대화되며, 음수 계수일 경우 최소화된다.
• 화학적 나무의 경우, 제약 조건 $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$ 하에 폐쇄형 상한을 유도한다.
• 대부분의 극값 구성은 모순과 계수 분석을 통해 증명되며, 등호는 특정한 나무 유형일 때에만 성립함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 반하티-소모브 지표와 다른 고전적 정점 차수 기반 위상적 지표들 사이의 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ2 모든 순서 $n$의 나무 중에서 첫 번째 반하티-소모브 지표를 최소화하는 나무의 구조는 무엇인가?
• RQ3 모든 순서 $n$의 나무 중에서 첫 번째 반하티-소모브 지표를 최대화하는 나무의 구조는 무엇인가?
• RQ4 화학적 나무에 대해 첫 번째 반하티-소모브 지표의 극값은 무엇이며, 어떤 구조적 조건에서 이를 달성하는가?

주요 결과

• 경로 그래프 $P_n$은 첫 번째 반하티-소모브 지표를 최소화하며, $BSO(P_n) = \frac{\sqrt{2}}{2}(n-3) + \sqrt{5}$이다.
• 별 그래프 $K_{1,n-1}$은 모든 나무 중에서 지표를 최대화하며, $BSO(K_{1,n-1}) = \sqrt{1 + (n-1)^2}$에 도달한다.
• 순서 $n$의 화학적 나무에서 $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$이면, 지표의 최대값은 $\frac{2\sqrt{17}(n+1) + \sqrt{2}(n-5)}{12}$로 경계되며, 등호는 $n_2 = n_3 = 0$일 때에만 성립한다.
• 지표는 모든 간선이 차수 1과 차수 2 정점 간에 존재할 경우 최소가 되며, 이는 $x,y \geq 2$에 대해 계수 함수 $f(x,y)$가 양수이기 때문이다.
• 계수 분석 결과, $BSO(T_n)$은 고차수 정점 쌍의 수가 많을수록 증가함을 보여주며, 이는 별이 최대화자임을 확인한다.
• 지표 표현식은 서로 다른 차수 쌍의 기여도로 분해되며, 극값은 계수 함수 $f(x,y)$와 $g(x,y)$의 부호 분석을 통해 증명된다.