[논문 리뷰] On the first sign change of $ heta(x) - x$

David J. Platt, Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 θ(x) < x가 모든 x < 1.39 × 10^17에서 성립함을 입증하며 이전의 한계를 향상시켰고, 명시적 공식, 리만 제타 함수의 비자명한 영점, 가우시안 커널을 사용한 수치적 적분을 통해 θ(x) > x가 되는 x < exp(727.951332668)가 존재함을 증명한다. 이 결과는 θ(x) − x의 첫 번째 부호 변화가 exp(727.951332668) 이하에서 발생함을 확인하며, θ(x) > x를 만족하는 연속된 정수의 수가 10^152개 이상임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $\ heta(x) = \\sum_{p\\leq x} \\log p$. We show that $\ heta(x)&lt;x$ for $2&lt;x&lt; 1.39\\cdot 10^{17}$. We also show that there is an $x&lt;\\exp(727.951332668)$ for which $\ heta(x) &gt;x.$

연구 동기 및 목표

• θ(x) = ∑_{p≤x} log p일 때, θ(x) − x의 첫 번째 부호 변화를 규명하는 것.
• 이전 추정치를 초월하여 θ(x) > x가 되는 첫 번째 x에 대한 상한을 향상시키는 것.
• Schoenfeld와 Dusart의 연구를 바탕으로 θ(x) < x가 성립하는 범위를 확장하는 것.
• 1.39 × 10^17까지 θ(x) < x에 대한 효과적이고 수치적으로 검증된 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• ψ(x)에 대한 명시적 공식을 사용하고, ψ(x) = θ(x) + θ(x^{1/2}) + θ(x^{1/3}) + ⋯를 통해 θ(x)와 연결한다.
• θ(e^u)−e^u의 적분을 매끄럽게 하기 위해 가우시안 커널 K(u−ω)를 적용하여 부호 변화를 추정한다.
• 비자명한 제타 함수 영점 ρ = 1/2 + iγ까지의 수치적 적분과 합산을 수행하며, T ≈ 5000의 높이에서 오차 한계를 적용한다.
• 이중 정밀도 간격 산술과 병렬 처리된 소수 걸러내기를 사용하여, 1.39×10^17까지 10,390개의 세그먼트에서 θ(x)를 효율적으로 계산한다.
• 기존의 ψ(x)−x 추정치와 θ(x)−x 오차 항을 바탕으로 한 尾部 한계를 적용하여 θ(x) > x가 성립하는 간격을 정밀하게 조정한다.
• Oliveira e Silva의 π(x) 표를 활용한 독립적 검증을 통해 결과를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 θ(x) < x가 1.39×10^17까지 성립함을 감안할 때, θ(x) > x가 되는 최소의 x는 무엇인가?
• RQ2 θ(x)−x의 첫 번째 부호 변화가 exp(727.951332668) 이하로 효과적으로 상한을 제시할 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 부호 변화가 발생하는 간격 내에서 θ(x) > x를 만족하는 연속된 정수는 몇 개인가?
• RQ4 ψ(x)−x와 ζ(s) 영점에 대한 알려진 한계를 사용하여 θ(x)−x의 오차 항을 얼마나 잘 통제할 수 있는가?
• RQ5 매우 넓은 범위에서 θ(x)를 정확하게 계산할 수 있는 병렬 처리가 가능하고 수치적으로 안정적인 알고리즘이 구현 가능한가?

주요 결과

• 모든 x < 1.39 × 10^17에서 θ(x) < x이므로, 이는 이전의 8×10^11에서의 한계를 초월한다.
• θ(x) > x가 되는 x < exp(727.951332668)가 존재함을 증명하여 첫 번째 부호 변화를 확인한다.
• exp(727.951332642)에서 exp(727.951332668) 사이의 간격에는 최소 10^152개의 연속된 정수에서 θ(x) > x가 성립한다.
• ω = 727.951332655일 때, ∑_{|γ|≤T} e^{iωγ}/ρ exp(−γ²/(2α))의 값이 [−1.0013360278, −1.0013360277]에 속하여 부호 변화가 확인된다.
• 오차 항 R₁ + R₂ + R₃ + R₄ < 1.7×10⁻⁹이므로, 적분의 양의 값을 보장하며 따라서 θ(x) > x가 존재함을 입증한다.
• 계산은 16코어 클러스터에서 78,000 노드시간을 사용하였으며, 10,390개의 세그먼트와 간격 산술을 통해 수치적 신뢰성을 확보하였다.