[논문 리뷰] On the Formalist Theory of Arithmetic

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 06.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 1인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 어떤 해석에서도 아라비아 숫자에 할당된 개체들만을 범위로 삼는 개체 변수를 매개변수화하는 수정된 일阶 산술 체계 S'을 소개한다. 고델의 기법을 응용하여 S' 내에서 고델 문장 (x)R[x]를 구성함으로써 S'가 모순됨을 증명한다; S'와 표준 산술 S는 동일한 문법을 공유하므로 이는 표준 페아노 산술 자체의 모순성을 암시한다.

ABSTRACT

This paper describes a system S' obtained by modifying first-order arithmetic to 'parameterise' the individual variables so that under any interpretation of S', the individual variables range over all and only the individuals assigned to the numerals under this interpretation. Since S' contains Peano arithmetic and is recursively axiomatised we can modify Goedel's technique to define a Goedel sentence for S', say (x)R[x]. S' may be shown to be inconsistent since (x)R[x] must be an S' theorem. Since the syntax of S' and S are identical however the inconsistency of S itself is implied by this result.

연구 동기 및 목표

• 변수의 해석 방식을 수정함으로써 일계 산술의 일관성 여부를 조사하기 위해.
• 산술 체계에서 변수를 매개변수화하는 것이 숨겨진 일관성 문제를 드러내는지 탐색하기 위해.
• 수정된 S' 체계에 고델의 불완전성 기법을 적용하고 모순을 도출하기 위해.
• S'의 일관성 부재가 표준 페아노 산술의 일관성 부재를 암시할 수 있음을 보여주기 위해.
• 형식적 산술의 일관성에 대한 기본 가정을 문법적 및 해석적 수정을 통해 도전하기 위해.

제안 방법

• 논문은 개체 변수가 어떤 해석에서도 아라비아 숫자에 할당된 개체들만을 범위로 삼도록 재정의함으로써 수정된 체계 S'를 구성한다.
• S'는 페아노 산술을 포함하고 있으며, 일阶 논리의 문법적 구조를 유지하면서 재귀적으로 축약 가능하다.
• 고델의 기법을 사용하여 S' 내부에서 표준 불완전성 정리의 미결정 문장과 유사한 고델 문장 (x)R[x]를 정의한다.
• 논문은 매개변수화 메커니즘으로 인해 (x)R[x]가 S'에서 반드시 정리여야 한다고 주장하며, 이는 모순을 야기한다.
• S'가 (x)R[x]와 그 부정을 모두 증명함으로써 체계가 모순됨을 증명한다.
• S'와 표준 산술 S는 동일한 문법을 공유하므로, S'의 모순성은 논리적으로 S의 모순성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수화된 변수를 가진 수정된 일계 산술 체계에서 고델 스타일의 자기참조가 존재할 경우 모순이 발생할 수 있는가?
• RQ2 S'와 표준 페아노 산술 간의 문법적 유사성이 S'의 일관성 부재가 원래 체계에 영향을 미친다는 것을 의미하는가?
• RQ3 매개변수화로 인해 반드시 정리가 되어야 하는 고델 문장 (x)R[x]를 S'에서 구성할 수 있는가; 이는 일관성의 위반을 초래하는가?
• RQ4 S'가 문법적으로 동일한 체계임에도 불구하고 모순임이 증명된다면, 페아노 산술의 일관성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 변수를 아라비아 숫자에 매개변수화함으로써 형식 체계 내 자기참조 문장의 도출 가능성은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• S'는 고델 문장 (x)R[x]가 매개변수화 규칙에 따라 반드시 정리여야 하므로 모순됨이 증명된다.
• S'의 모순성은 변수가 아라비아 숫자에 할당된 개체들만을 범위로 삼는 방식으로 인해 (x)R[x]가 도출되어야 한다는 요구로 인해 발생하며, 이는 일관된 형식 체계가 가져야 할 성질과 모순된다.
• S'와 표준 페아노 산술이 동일한 문법을 공유하므로, S'의 모순성은 표준 산술의 모순성을 암시한다.
• S' 내에서 (x)R[x]의 구성은 고델의 방법을 따르지만, 수정된 변수 해석으로 인해 모순으로 이어진다.
• 결과적으로 이는 표준 일계 산술이 일관하다는 기본 가정을, 변수 의미론의 미묘한 수정을 통해 도전한다.
• 논문은 표준 체계가 변수의 매개변수화를 견뎌내야 할 경우 형식주의 접근 방식이 본질적으로 모순됨을 결론짓는다.