[논문 리뷰] On the Fractional Derivatives of Radial Basis Functions

Maryam Mohammadi, Robert Schaback|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 22.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일차원에서 다섯 가지의 반경 기저 함수(RBFs)—거듭제곱, 가우시안, 다중격자, 마틴, 박막 스플라인—에 대한 리만-리우빌 및 카푸토 분수적 적분과 도함수에 대한 해석적 공식을 유도한다. 이러한 공식들은 분수적 미분 방정식을 해결하기 위한 고차수 메쉬리스 수치 해법을 가능하게 하며, 분수적 상미분 방정식(Fractional ODE)에 대한 RBF 콜로케이션과 분수적 편미분 방정식(Fractional PDE)에 대한 선형화 방법(method of lines)을 통해 검증되었다. 결과는 기존 기준값과 일치한다.

ABSTRACT

The paper provides the fractional integrals and derivatives of the Rie\-mann-Liouville and Caputo type for the five kinds of radial basis functions (RBFs), including the powers, Gaussian, multiquadric, Matern and thin-plate splines, in one dimension. It allows to use high order numerical methods for solving fractional differential equations. The results are tested by solving two fractional differential equations. The first one is a fractional ODE which is solved by the RBF collocation method and the second one is a fractional PDE which is solved by the method of lines based on the spatial trial spaces spanned by the Lagrange basis associated to the RBFs.

연구 동기 및 목표

• 메쉬리스 RBF 방법을 사용하여 분수적 미분 방정식의 고차수 수치적 해를 가능하게 하기 위해.
• 일반적인 RBF의 분수적 적분과 도함수에 대한 닫힌 표현식을 유도하여 RBF 방법을 분수적 미적분학으로 확장하기 위해.
• 분수적 편미분 방정식과 상미분 방정식에 RBF 기반 콜로케이션 및 갈레르킨 방법을 적용하기 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.
• RBF를 사용하여 알려진 해석적 성질을 가진 분수적 미분 방정식 기준 문제에 대해 접근법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 적분 변환과 특수함수를 사용하여 다섯 가지 RBF에 대한 리만-리우빌 및 카푸토 분수 도함수의 차수 α를 유도한다.
• RBF 커널의 반복적 적분과 미분을 통해 리만-리우빌 정의를 적용한다.
• m = ⌈α⌉일 때, RBF의 m차 미분을 통합하여 카푸토 정의를 사용한다.
• PDE의 공간 연산자로 Riesz 분수 도함수를 사용하며, 이를 좌우 리만-리우빌 도함수의 조합으로 표현한다.
• RBF 보간 행렬의 역행렬을 이용하여 경계 조건을 강제하는 RBF 기반 라그랑주 기저 함수를 구성한다.
• 공간 RBF 이산화로부터 유도된 ODE 시스템의 시간 적분을 통해 분수적 상미분 방정식을 RBF 콜로케이션으로, 분수적 편미분 방정식을 선형화 방법으로 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 RBF의 해석적 분수 도함수를 유도할 수 있는가? 이를 고차수 메쉬리스 해법에 활용하기 위해.
• RQ2 RBF 기반 콜로케이션 방법은 비국소 연산자를 가진 분수 차수 상미분 방정식을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 RBF로 생성된 라그랑주 기저 함수를 사용한 선형화 방법은 Riesz 공간 도함수를 가진 분수적 편미분 방정식을 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 유도된 분수 RBF 공식을 사용하여 분수적 미분 방정식에 RBF 방법을 적용했을 때의 정확도와 수렴 특성은 어떠한가?

주요 결과

• 거듭제곱, 가우시안, 다중격자, 마틴, 박막 스플라인 RBF에 대한 리만-리우빌 및 카푸토 분수 도함수에 대한 해석적 표현식이 일차원에서 유도되었다.
• RBF의 분수 도함수는 통합 초함수와 감마 함수로 표현되며, 이는 콜로케이션 프레임워크 내에서 정확한 계산을 가능하게 한다.
• RBF 콜로케이션 방법은 오른쪽 항이 f(t) = 1, f(t) = t e^{-t}, f(t) = e^{-t} sin(0.2t)인 분수적 상미분 방정식을 성공적으로 해결하였으며, 문헌에서 알려진 결과와 일치한다.
• RBF 기반 라그랑주 기저 함수를 사용한 선형화 방법은 α = 1.8 및 α = 1.5인 Riesz 유형의 분수적 편미분 방정식을 정확하게 해결하였으며, u₀(x) = x²(π−x) 및 u₀(x) = sin(4x)의 경우 기존에 알려진 해를 재현하였다.
• 가우시안 RBF(c=1)와 다중격자 RBF(β=1, c=1)를 사용할 경우 동일한 결과를 얻었으며, 이는 RBF 유형 간의 강건성(robustness)을 시사한다.
• 메쉬 생성 없이도 분수적 미분 방정식의 고차수 정확도를 달성할 수 있었으며, 이는 RBF의 메쉬리스 성질과 분수적 연산자의 비국소성(non-locality)을 유용하게 활용한 결과이다.