[논문 리뷰] On the Fractional Riemann-Liouville Integral of Gauss-Markov processes and applications

Mario Abundo, Enrica Pirozzi|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가우스-마르코프 과정의 분수 라우비르일 적분을 조사하며, 결과 과정의 평균, 분산, 공분산에 대한 폐쇄형 표현식을 유도한다. 분수 차수 파라미터 α가 기억 효과와 상관 구조를 크게 조절하는 것으로 나타났으며, 수치 결과는 FIBM의 공분산이 α가 증가함에 따라 급격히 증가하는 반면, 무작위 초깃값을 가진 FISOU는 FIOU보다 더 넓은 상관 패턴을 보여, 신경 회로 역학에서 장기 기억을 더 잘 모델링할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We investigate the stochastic processes obtained as the fractional Riemann-Liouville integral of order $α\in (0,1)$ of Gauss-Markov processes. The general expressions of the mean, variance and covariance functions are given. Due to the central rule, for the fractional integral of standard Brownian motion and of the non-stationary/stationary Ornstein-Uhlenbeck processes, the covariance functions are carried out in closed-form. In order to clarify how the fractional order parameter $α$ affects these functions, their numerical evaluations are shown and compared also with those of the corresponding processes obtained by ordinary Riemann integral. The results are useful for fractional neuronal models with long range memory dynamics and involving correlated input processes. The simulation of these fractional integrated processes can be performed starting from the obtained covariance functions. A suitable neuronal model is proposed. Graphical comparisons are provided and discussed.

연구 동기 및 목표

• 일반 라우비르 적분을 분수 라우비르일 적분(α ∈ (0,1))으로 대체함으로써 통합 가우스-마르코프 과정 이론을 확장한다.
• 표준 브라운 운동 및 비 stationary/Stationary 오르누이엔-울렌벡 과정의 분수 적분에 대한 평균, 분산, 공분산 함수의 해석적 표현식을 유도한다.
• 분수 차수 α가 결과 과정의 기억 및 상관 구조에 미치는 영향을 수치적 및 그래픽적 비교를 통해 조사한다.
• 장기 기억을 가진 분수 신경 모델에서 표본 경로 시뮬레이션과 제1통과 시간 분석을 위한 기초를 마련한다.
• 분수 적분된 상관된 입력 과정을 기반으로 한 신경 모델을 제안하며, α가 제공하는 향상된 기억 제어 기능을 활용한다.

제안 방법

• 표준 브라운 운동 및 비 stationary/Stationary 오르누이엔-울렌벡 과정을 포함한 가우스-마르코프 과정에 분수 라우비르일 적분(차수 α)을 적용한다.
• 분수 미적분학의 성질과 가우스-마르코프 과정의 이차 구조를 이용하여 평균, 분산, 공분산 함수의 폐쇄형 표현식을 도출한다.
• 분수 차수 α를 변화시켜 공분산 함수를 수치적으로 평가하여, 분수 차수의 영향이 기억 및 상관 역학에 미치는 영향을 분석한다.
• 3차원 도표 및 색상 맵을 사용하여 시간과 α 값에 따른 공분산 함수의 변화를 시각화하기 위한 그래픽적 비교를 수행한다.
• 유도된 공분산 함수를 바탕으로 표본 경로 시뮬레이션을 가능하게 하여, 제1통과 시간 분석을 위한 추가 분석을 지원한다.
• 입력 과정을 상관된 가우스-마르코프 과정의 분수 적분으로 모델링하는 신경 모델을 제안하며, α는 조절 가능한 기억 파라미터로 기능한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 라우비르 적분을 분수 라우비르일 적분(차수 α)으로 대체할 경우, 가우스-마르코프 과정의 통계적 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 표준 브라운 운동 및 오르누이엔-울렌벡 과정의 분수 적분에 대한 평균, 분산, 공분산의 폐쇄형 표현식은 무엇인가?
• RQ3 분수 차수 α는 결과 과정의 상관 구조와 기억 효과에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비 stationary 및 stationary 오르누이엔-울렌벡 과정의 분수 적분 간 공분산 행동의 차이는 무엇인가?
• RQ5 유도된 공분산 함수는 신경 모델에서 표본 경로의 효율적 시뮬레이션과 제1통과 시간 분석을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 표준 브라운 운동의 분수 적분(FIBM)의 공분산은 α가 증가함에 따라 급격히 증가하며, α ≈ 1일 때 약 15의 값을 도달하여 강한 기억 효과를 나타낸다.
• 비 stationary 오르누이엔-울렌벡 과정의 분수 적분(FIOU)의 공분산은 더 천천히 증가하여, α ≈ 1일 때 약 2의 값을 도달하며, 상대적으로 약한 상관을 반영한다.
• stationary 오르누이엔-울렌벡 과정의 분수 적분(FISOU)은 모든 α 값에서 FIOU보다 略로 높은 공분산 값을 보이며, 특히 작은 t와 대각선 근처의 u에서 더 퍼진 상관 패턴을 보인다.
• α = 0.2일 때 FISOU의 공분산은 작은 t와 대각선 근처의 u에서 높은 값을 보이며, α = 0.5 및 0.8일 때는 FISOU와 FIOU의 공분산 패턴이 점점 유사해지지만, FISOU는 여전히 더 넓은 상관을 유지한다.
• 모든 세 과정의 분산과 공분산은 큰 t에서 α가 증가함에 따라 증가하며, 이는 α가 기억 지속성을 향상시킨다는 것을 확인한다.
• 그래픽적 및 수치적 비교 결과, α는 복잡한 시스템, 특히 신경 모델에서 기억 길이와 시간 스케일 역학을 제어하는 강력한 조절 파라미터임을 확인한다.