[논문 리뷰] On the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus and some $(p,q)$-Taylor formulas

P. Njionou Sadjang|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 $(p,q)$-미적분학의 기본 정리를 수립하고, 새로운 $(p,q)$-거듭제곱 기저를 사용하여 다항식에 대한 두 개의 $(p,q)$-테일러 공식을 유도한다. $(p,q)$-미분과 $(p,q)$-적분 연산자를 정의하고 수렴 조건을 증명하며, $(p,q)$-부분적분 공식을 유도하여 고전적 및 $q$-미적분학 결과를 일반화하며, 다항식 전개와 부정적분에의 적용을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, the $(p,q)$-derivative and the $(p,q)$-integration are investigated. Two suitable polynomials bases for the $(p,q)$-derivative are provided and various properties of these bases are given. As application, two $(p,q)$-Taylor formulas for polynomials are given, the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus is included and the formula of $(p,q)$-integration by part is proved.

연구 동기 및 목표

• 고전적 테일러 공식과 기본 미적분학 정리를 $(p,q)$-미적분학 프레임워크로 일반화하기.
• 수렴 조건을 포함하여 $(p,q)$-미분과 $(p,q)$-적분 연산자를 정의하고 분석하기.
• 뉴턴-莱브니츠 공식($(p,q)$-해석)의 $(p,q)$-해석을 수립하고, 부분적분 공식을 유도하기.
• $(p,q)$-거듭제곱 기저를 사용하여 다항식에 대한 두 개의 $(p,q)$-테일러 전개를 제공하고, 표준 기저와의 연결 공식을 포함하기.
• $q$-미적분학 결과를 더 일반적인 $(p,q)$-설정으로 확장하여, 극한과 수렴 행동을 포함하기.

제안 방법

• 다항식 $ x \neq 0 $ 에서 $ D_{p,q}f(x) = \frac{f(px) - f(qx)}{(p-q)x} $ 를 통해 $(p,q)$-미분을 정의하고, $ x = 0 $ 에서는 극한 정의를 사용한다.
• $(p,q)$-거듭제곱 기저를 $ (x \ominus a)_{p,q}^n = \prod_{i=0}^{n-1} (p^i x - a q^i) $ 로 정의하여 단항식을 일반화한다.
• $(p,q)$-미분의 주요 성질을 도출하며, 곱의 법칙과 고차 미분 공식을 포함한다.
• 무한급수를 통한 $(p,q)$-적분 정의: $ \int_0^a f(x) d_{p,q}x = (p-q)a \sum_{k=0}^\infty q^k f(a q^k) $, 수렴 조건을 함께 제시한다.
• $(p,q)$-미적분학의 기본 정리 증명: $ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $, 여기서 $ F $ 는 $ f $ 의 부정적분이다.
• $(p,q)$-부분적분 공식 유도: $ \int_a^b f(px) D_{p,q}g(x) d_{p,q}x = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b g(qx) D_{p,q}f(x) d_{p,q}x $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단항식 대신 $(p,q)$-거듭제곱 기저를 사용하여 고전적 테일러 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 유한 및 무한 구간에서 $(p,q)$-적분의 수렴 조건은 무엇인가?
• RQ3 극한 $ p \to 1 $ 에서 $(p,q)$-미분은 일반 미분과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $(p,q)$-뉴턴-莱브니츠 공식의 $(p,q)$-해석은 무엇이며, 어떤 연속성 조건 하에서 성립하는가?
• RQ5 $(p,q)$-미적분학 프레임워크에서 일관된 부분적분 규칙을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $(p,q)$-미적분학의 기본 정리가 성립한다: $ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $, 여기서 $ F $ 는 $ f $ 의 부정적분이면서 $ x = 0 $ 에서 연속이어야 한다.
• $(p,q)$-미분은 곱의 법칙을 만족한다: $ D_{p,q}(f g) = f(px) D_{p,q}g + g(qx) D_{p,q}f $, 이는 $ q $-경우를 일반화한다.
• 다항식에 대한 $(p,q)$-테일러 공식은 기저 $ (x \ominus a)_{p,q}^n $ 을 사용하여 도출되었으며, 계수는 $ [n]_{p,q} $ 와 $ [n]_{p,q}! $ 를 포함한다.
• 함수 $ |f(x)| \leq M x^{\alpha} $ 를 만족하고 $ \alpha > 0 $ 이며 $ p $, $ q $ 에 대한 조건이 충족되면 $(p,q)$-적분이 수렴한다.
• $(p,q)$-부분적분 공식이 수립되었으며, $ b = \infty $ 에서도 유효하여 고전 결과를 $(p,q)$-설정으로 확장한다.
• 모든 $(p,q)$-결과는 $ p \to 1 $ 일 때 $ q $-미적분학의 결과로 축소되며, 기존 $ q $-이론과의 일관성을 확인한다.