[논문 리뷰] On the General Structure of Hamiltonian Reductions of the Wznw Theory

L. Fehér, L. O’Raifeartaigh외 3명|ArXiv.org|1991. 12. 22.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 7인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 1차 종류의 Kac-Moody 제약 조건을 사용하여 WZNW 이론의 해밀토니안 축소를 위한 일반적 프레임워크를 수립하며, 축소된 이론에서 정확한 적분 가능성, 등각 대칭성, W-대칭성을 유도한다. 경로 적분과 BRST 양자화를 가능하게 하기 위해 라그랑지안 및 게이지된 WZNW 형식을 구축하고, W-대칭군이 단순 리 대수에 대한 sl(2) 임bedding을 통해 유도됨을 보여주며, 이로써 W_n^l 대칭군과 일반화된 Toda 이론이 이러한 축소를 통해 통합됨을 밝힌다.

ABSTRACT

The structure of Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) theory by first class Kac-Moody constraints is analyzed in detail. Lie algebraic conditions are given for ensuring the presence of exact integrability, conformal invariance and $\cal W$-symmetry in the reduced theories. A Lagrangean, gauged WZNW implementation of the reduction is established in the general case and thereby the path integral as well as the BRST formalism are set up for studying the quantum version of the reduction. The general results are applied to a number of examples. In particular, a ${\cal W}$-algebra is associated to each embedding of $sl(2)$ into the simple Lie algebras by using purely first class constraints. The importance of these $sl(2)$ systems is demonstrated by showing that they underlie the $W_n^l$-algebras as well. New generalized Toda theories are found whose chiral algebras are the ${\cal W}$-algebras belonging to the half-integral $sl(2)$ embeddings, and the ${\cal W}$-symmetry of the effective action of those generalized Toda theories associated with the integral gradings is exhibited explicitly.

연구 동기 및 목표

• 1차 종류의 Kac-Moody 제약 조건을 사용하여 WZNW 이론의 해밀토니안 축소를 위한 일반적인 리 대수적 프레임워크를 개발하는 것.
• 축소된 이론이 정확한 적분 가능성, 등각 대칭성, W-대칭성을 갖기 위한 리 대수의 구조에 필요한 충분한 조건을 규명하는 것.
• 경로 적분과 BRST 양자화를 가능하게 하기 위해 라그랑지안 및 게이지된 WZNW 형식을 구축하는 것.
• W-대칭군, 특히 W_n^l 및 일반화된 Toda 이론이 단순 리 대수에 대한 sl(2) 임bedding을 통해 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 클래식 리 대수(A_l, B_l, C_l, D_l)에서 H-호환 가능한 sl(2) 임bedding과 반분해를 분류하고, 이들이 일관된 W-대칭성을 생성하는 데 수행하는 역할를 규명하는 것.

제안 방법

• sl(2) 임bedding에 의한 리 대수의 등급화를 사용하여 WZNW 위상공간에서 1차 종류의 등각 대칭성 있는 Kac-Moody 제약 조건의 조건을 유도한다.
• 1차 종류의 제약 조건을 구현하기 위해 게이지 장을 도입하여 제약된 WZNW 이론의 라그랑지안 형식을 구성한다.
• 디랙-버그만 제약 양자화 절차를 적용하여 효과적인 물리 해밀토니안과 포아송 괄호의 구조를 유도한다.
• 디랙 괄호의 다항식 성질을 이용하여 축소된 위상공간에서의 측정가능한 W-대칭군의 구조를 식별한다.
• 제약 시스템에 BRST 형식을 적용하여 양자 경로 적분을 설정하고 양자 이상을 분석한다.
• 텐서 및 스핀어 표현에서 계량 형식의 수직성과 비퇴화 조건을 도입하여 H-호환 가능한 sl(2) 임bedding과 반분해의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 리 대수적 조건이 WZNW 이론의 해밀토니안 축소가 정확한 적분 가능성, 등각 대칭성, W-대칭성을 갖는 이론을 유도하는가?
• RQ2 일반적인 경우에서 해밀토니안 축소를 실현하기 위해 라그랑지안 및 게이지된 WZNW 형식을 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 W_n^l 대칭군과 단순 리 대수에 대한 sl(2) 임bedding을 통해 유도된 W-대칭군 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 클래식 리 대수(A_l, B_l, C_l, D_l)에 대한 어떤 sl(2) 임bedding이 H-호환 가능한 반분해를 허용하며, 일관된 W-대칭성을 생성하는가?
• RQ5 일반화된 Toda 이론은 어떻게 WZNW 축소에서 유도되며, 그 효과적 작용에서 W-대칭성은 어떻게 명시적으로 실현되는가?

주요 결과

• 논문은 W-대칭군이 1차 종류의 등각 대칭성 있는 Kac-Moody 제약 조건을 통해 WZNW 이론의 해밀토니안 축소로 생성됨을 수립한다.
• WZNW → Toda 축소의 경우, 축소된 이론의 측정가능한 대칭군은 sl(2) 임bedding에 관련된 W-대칭군과 동형이며, 리 대수의 카시미르에 의해 결정되는 등각 차수를 갖는다.
• 반정수 차수의 sl(2) 임bedding에 관련된 일반화된 Toda 이론은 W-대칭군과 동형인 측정가능한 대칭군을 가지며, 그들의 W-대칭성은 효과적 작용에서 명시적으로 나타난다.
• H-호환 가능한 sl(2) 임bedding은 특정 표현의 다중성과 대칭 조건을 만족할 때만 존재한다: C_l의 경우 스핀어는 스파크티컬리 쌍으로 나타나야 하며 다중성은 2이어야 하고, D_l의 경우 텐서는 수직 쌍으로 나타나야 하며 다중성은 2여야 한다.
• H-호환 반분해 조건은 텐서에서 ad_H = ad_M0를 요구하며, 이는 허용 가능한 임bedding을 제한한다—B_l, C_l, D_l에서 정수 차수의 sl(2) 임bedding만 반분해를 허용하며, 기본 표현에서 두 개의 스칼라를 갖는 D_l의 특정 임bedding만 조건을 만족한다.
• 축소된 시스템에 대해 BRST 형식을 구성하였으며, 두 예제에서 바이어스로르 중심 상수를 명시적으로 계산하여 기존의 양자 W-대칭군 결과와 일관됨을 확인하였다.