[논문 리뷰] On the Generalised Colouring Numbers of Graphs that Exclude a Fixed Minor

Jan van den Heuvel, Patrice Ossona de Mendez외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 29.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 25인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 고정된 미니어를 포함하지 않는 그래프에서 일반화된 색칠 수(colr(G) 및 wcolr(G))에 대해 날카운 선형 및 다항 상계를 확립하며, 이는 이전의 지수적 상계를 크게 향상시킨다. 미니어-폐쇄 가족 내에서 사전 순서 폭넓은 우선 탐색 트리와 구조적 그래프 성질을 활용하여, Kt-미니어 없는 그래프에 대해 colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1) 및 wcolr(G) ≤ O(rt−1)을 증명한다. 평면 및 유한 성질을 가진 그래프에 대해서는 더욱 날카운 상계를 제공한다.

ABSTRACT

The generalised colouring numbers $\mathrm{col}_r(G)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)$ were introduced by Kierstead and Yang as a generalisation of the usual colouring number, and have since then found important theoretical and algorithmic applications. In this paper, we dramatically improve upon the known upper bounds for generalised colouring numbers for graphs excluding a fixed minor, from the exponential bounds of Grohe et al. to a linear bound for the $r$-colouring number $\mathrm{col}_r$ and a polynomial bound for the weak $r$-colouring number $\mathrm{wcol}_r$. In particular, we show that if $G$ excludes $K_t$ as a minor, for some fixed $t\ge4$, then $\mathrm{col}_r(G)\le\binom{t-1}{2}\,(2r+1)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\binom{r+t-2}{t-2}\cdot(t-3)(2r+1)\in\mathcal{O}(r^{\,t-1})$. In the case of graphs $G$ of bounded genus $g$, we improve the bounds to $\mathrm{col}_r(G)\le(2g+3)(2r+1)$ (and even $\mathrm{col}_r(G)\le5r+1$ if $g=0$, i.e. if $G$ is planar) and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\Bigl(2g+\binom{r+2}{2}\Bigr)\,(2r+1)$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 미니어를 포함하지 않는 그래프에서 일반화된 색칠 수에 대한 이전에 그로헤 등에 의해 확립된 지수적 상계를 향상시키기 위해.
• 특히 평면 및 유한 성질을 가진 그래프에 대해 Kt-미니어 없는 그래프에서 colr(G) 및 wcolr(G)에 대해 날카운 명시적 상계를 제공하기 위해.
• 트리 깊이, 트리 폭, 성질과 같은 구조적 그래프 파라미터와 일반화된 색칠 수 간의 관계를 설정하기 위해.
• 이러한 상계가 야행성 색칠 수와 같은 관련 그래프 불변량에 대해 향상된 결과를 도출할 수 있음을 보여주기 위해.
• 사전 순서 폭넓은 우선 탐색 순서와 미니어 배제 성질을 활용하여 희박한 그래프 계열의 기존 상계를 정교화하기 위해.

제안 방법

• 레크스BFS 트리를 활용하여 반경 r 내에서의 도달 가능성에 대한 제어를 가능하게 하는 정점 순서를 정의한다.
• 레크스BFS 순서 하에서 어떤 정점 u로부터 강하게 r-도달 가능한 정점의 수를 제한하기 위해 구조적 그래프 이론을 적용한다.
• 최대 평면 그래프에서 부모 경로(Pa, Pb, Pc)를 사용한 경로 분리 추론을 통해 r-이웃 영역의 크기를 제약한다.
• 레크스BFS에서 먼저 발견된 정점은 더 낮은 순서를 가지므로, 도달 가능성 집합에 대한 귀납적 제어가 가능하다는 사실을 활용한다.
• BFS 트리에서 단계별 분석과 귀납을 사용하여 NGr[u] ∩ V(Pa), V(Pb), 및 V(Pu) 내의 정점 수를 제한한다.
• 특히 평면 그래프에서 내부 및 외부 면을 구분하여, u의 부모가 포함된 면에 대한 경우 분석을 통해 상계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 미니어를 포함하지 않는 그래프에서 r-색칠 수 colr(G)에 대해 가능한 가장 날카운 상계는 무엇인가?
• RQ2 이러한 상계는 배제된 미니어에 따라 어떻게 달라지며, 특히 완전 그래프 Kt에 대해 어떻게 달라지는가?
• RQ3 Kt-미니어 없는 그래프에서 약한 r-색칠 수 wcolr(G)는 r에 대해 다항식 상계로 제한될 수 있는가?
• RQ4 특수 그래프 계열, 예를 들어 평면 또는 유한 성질을 가진 그래프에서 이러한 상계는 어떻게 향상되는가?
• RQ5 이러한 상계는 야행성 색칠 수와 같은 관련 불변량에 대해 기존 상계를 얼마나 향상시키는가?

주요 결과

• 모든 Kt-미니어 없는 그래프 G에 대해 t ≥ 4이면 colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1)이며, 이는 r에 대한 선형 상계이다.
• 동일한 클래스에 대해 wcolr(G) ≤ (r+t−2 choose t−2) · (t−3)(2r + 1)이며, 이는 O(rt−1)로, r에 대한 다항 상계이다.
• 평면 그래프(성질 g = 0)에 대해서는 colr(G) ≤ 5r + 1이며, 이는 r = 1일 때 날카로운 상계이다.
• 성질 g인 그래프에 대해서는 colr(G) ≤ (4g + 5)r + 2g + 1이며, 이는 이전의 지수적 상계를 향상시킨다.
• 평면 그래프에 대해서는 wcolr(G) ≤ (r+2 choose 2) · (2r + 1)이며, 이는 O(r³)이며, r = 1일 때도 날카로운 상계이다.
• Kt-미니어 없는 그래프의 야행성 색칠 수는 이제 O(t²)로 상한이 제시되며, 이는 이전의 O(t² log²t) 상한을 향상시킨다.