[논문 리뷰] On the generalized linear and non-linear DFC in non-linear dynamics

Dmitriy Dmitrishin, Anna Khamitova외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 이산 동역계에서 평형점을 안정화하기 위한 일반화된 선형 및 비선형 지연 피드백 제어(DFC)를 조사한다. 선형 DFC는 고전적 Pyragas DFC와 동일한 기본적 제약를 갖는다. 반면 다중 지연을 가진 비선형 DFC는 벡터 사례에서 허용 가능한 다중수 집합에 대해 안정성을 강건하게 확보할 수 있다. 이는 선형 방법에 비해 뚜렷한 이점이다.

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of robust stability of the generalized linear control of the discrete autonomous dynamical systems. Sharp necessary conditions on the size of the set of multipliers that guaranty robust stabilization of the equilibrium of the system are provided. Surprisingly enough it turns out that the generalized linear delayed feedback control has same limitation as the classical Pyragas DFC. This generalized Ushio 1996 DFC limitation statement. Note that in scalar case a generalized non-linear control can robustly stabilize an equilibrium for any admissible range of multipliers. In the current article similar result is obtained in the vector-valued setting.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 선형 및 비선형 지연 피드백 제어(DFC)를 이용해 비선형 이산 동역계에서 평형점을 강건하게 안정화시키는 것을 조사한다.
• 시스템 매개변수의 불확실성 하에서 강건한 안정화를 보장하는 다중수 집합에 대한 날카로운 필수 조건을 규명한다.
• 일반화된 선형 DFC의 제약 조건을 고전적 Pyragas DFC의 제약 조건과 비교하고, 벡터 값 시스템에서 비선형 DFC의 이점을 탐색한다.
• 비선형 DFC가 다중 지연을 가질 경우, 벡터 사례에서 허용 가능한 다중수 집합에 대해 평형점을 강건하게 안정화시킬 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 불안정한 평형점을 갖는 매개변수에 의존하는 자코비안 행렬을 가진 이산 자율 동역계로 시스템을 모델링한다.
• 다중 시간 지연 동안 상태 차이를 기반으로 유도된 일반화된 선형 DFC 하의 닫힌 루프 시스템의 특성 다항식을 분석한다.
• 다항식 사상에 의해 단위 원판의 이미지를 반전시킴으로써 안정성 문제를 기하학적 복소함수 이론 문제로 변환한다.
• 다중수 집합의 허용 영역을 특성화하기 위해 $ q(z) = \sum_{j=1}^{N} \alpha_j z^j $ 형태의 다항식 사상 사용, 조건은 $ q(0) = 0 $, $ q(1) = 1 $.
• 복소해석 기법, 특히 단위 원판의 사상 및 단위 원에 대한 역사상 기법을 적용하여 안정성 조건을 도출한다.
• 특정 다항식 사상 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $을 구성하여 좌반평면 및 단위 원 영역을 커버함으로써 $ \Re(\mu) \leq 1/N $ 조건에서 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 선형 DFC는 매개변수 불확실성 하에서 고전적 Pyragas DFC의 제약를 극복할 수 있는가?
• RQ2 다중 지연을 가진 비선형 DFC는 벡터 값 시스템에서 허용 가능한 다중수 집합에 대해 평형점을 강건하게 안정화시킬 수 있는가?
• RQ3 비선형 DFC를 사용할 때, 주어진 복소 평면의 다중수 영역을 커버하기 위해 필요한 최소 다항식 차수는 얼마인가?
• RQ4 다항식 사상에 의해 단위 원판의 이미지가 가지는 기하학적 구조는 안정화의 강건성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 임의의 다중수 집합에 대해 안정성을 보장하는 비선형 DFC 제어기를 설계할 수 있는 구축 가능한 방법이 존재하는가?

주요 결과

• 일반화된 선형 DFC는 고전적 Pyragas DFC와 동일한 기본적 제약를 유산한다: 다중수 집합이 단위 원 또는 복소 평면의 특정 영역에 포함될 경우 시스템을 안정화시킬 수 없다.
• 반면 선형 DFC와는 달리, 다중 지연을 가진 비선형 DFC는 벡터 값 사례에서 허용 가능한 다중수 집합에 대해 평형점을 강건하게 안정화시킬 수 있다.
• 논문은 특정 다항식 사상 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $을 구성하여 역이미지가 좌반평면과 단위 원 영역을 커버함으로써 $ \Re(\mu) \leq 1/N $ 조건에서 강건한 안정화를 보장한다.
• 이 방법은 안정성 문제를 기하학적 복소함수 이론 문제로 환원한다: 다항식 사상 $ q(z) $ 하에서 단위 원판의 역이미지 내에 다중수 집합 $ M $ 이 포함되도록 하는 것.
• Ikeda 지도 및 Arnold 고양이 지도에 대한 수치 시뮬레이션은 비선형 DFC가 혼돈, 변동, 분리, 집합, 최종 안정화 단계를 거쳐 시스템을 안정화시킴을 확인한다.
• 제안된 비선형 DFC 제어기는 평형점 위치에 독립적이며, 동기화 시에 사라지므로 원래 시스템의 평형 구조를 유지한다.