[논문 리뷰] On the genericity of positive exponents of conservative skew products with two-dimensional fibers

Davi Obata, Mauricio Poletti|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중심 뭉치기(center bunching)와 변형 기법을 사용하여, 두 차원의 섬유를 가진 콘сер바티브 스위프트 프로덕트에서 $C^1$-밀도성과 $C^r$-개방성을 확립한다. 이는 일반적인 $C^r$-개방적이고 $C^1$-밀도적인 부분집합에서 통합된 중심 리아풀로프 지수 $L(f) > 0$임을 증명하며, 이는 거의 everywhere에서 비균일한 하이퍼볼리시티를 의미한다.

ABSTRACT

In this paper we study the existence of positive Lyapunov exponents for three different types of skew products, whose fibers are compact Riemannian surfaces and the action on the fibers are by volume preserving diffeomorphisms. These three types include skew products with a volume preserving Anosov diffeomorphism on the basis; or with a subshift of finite type on the basis preserving a measure with product structure; or locally constant skew products with Bernoulli shifts on the basis. We prove the $C^1$-density and $C^r$-openess of the existence of positive Lyapunov exponents on a set of positive measure in the space of such skew products.

연구 동기 및 목표

• 콘서바티브 스위프트 프로덕트에서 양의 리아풀로프 지수의 일반성에 대해 조사한다.
• 중심 뭉치기 조건을 만족하는 $C^r$-부분 하이퍼볼릭이면서 체적을 보존하는 스위프트 프로덕트의 공간에서, 양의 중심 리아풀로프 지수의 $C^1$-밀도성과 $C^r$-개방성을 확립한다.
• 접근성 또는 전체 체적 보존 구조에 의존하지 않고, 앙노소프 또는 버누울리 기반 역학을 초월한 결과를 확장한다.
• 유한형 하위시프트와 곱 측도를 가진 국소적으로 상수인 코시클에 대해 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 오세레체프의 정리를 사용하여 중심 방향의 리아풀로프 지수를 정의하고, 통합된 중심 지수 $L(f) = \int \lambda_c^+(x) \, d\text{leb}(x)$를 정의한다.
• 중심 뭉치기를 적용하여 선형 홀로노미의 존재를 보장하며, 이는 변형 증명에 핵심적이다.
• $C^1$-변형을 사용하여 $L(f)$가 양이 되는 스위프트 프로덕트를 구성하며, 이는 섬유 역학에서의 패치링 성질에 의존한다.
• [20]의 측도 수렴과 홀로노미 맵에 관한 기법을 적응하여, 불변 측도의 약한$^*$ 수렴을 증명한다.
• 측도 가능 홀로노미 맵 $\mathcal{H}_k$와 그 수렴성을 사용하여 $\tilde{m}^k \to \tilde{m}$를 확보함으로써 조건부 측도의 정규성을 보장한다.
• 측도 가능 선택 원리를 적용하여 분해 $\tilde{m}_p$가 $\mathbf{B}_0$-가측임을 보이며, 측도 이론적 기초를 완성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심 뭉치기 조건을 만족하는 $C^r$-부분 하이퍼볼릭이면서 체적을 보존하는 스위프트 프로덕트에서, 양의 중심 리아풀로프 지수를 가진 집합은 $C^1$-밀도적인가?
• RQ2 이러한 시스템 중 $L(f) > 0$인 집합은 $C^r$-개방적인가?
• RQ3 결과는 국소 곱 측도를 가진 고유한 유한형 하위시프트 위의 스위프트 프로덕트로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이중 차원 섬유 가정을 제거하여 고차원 섬유를 允許할 수 있는가?
• RQ5 패치링 성질은 이러한 스위프트 프로덕트 공간에서 $C^r$-밀도적인가?

주요 결과

• 중심 뭉치기 조건을 만족하는 $C^r$-부분 하이퍼볼릭이면서 체적을 보존하는 스위프트 프로덕트에서 $L(f) > 0$인 집합은 이 조건을 만족하는 시스템 전체 공간에서 $C^1$-밀도적이다.
• 동일한 집합은 $C^r$-개방적이며, 이는 양의 리아풀로프 지수의 소규모 $C^r$-변형에 대한 강건성을 의미한다.
• 양의 $L(f)$ 존재는 $\lambda_c^+(x) > 0$ almost everywhere 이므로, 거의 everywhere에서 비균일한 하이퍼볼리시티를 암시한다.
• 결과는 세 가지 유형에 대해 성립한다: 앙노소프 미분형, 곱 구조 측도를 가진 고유한 유한형 하위시프트 위의 스위프트 프로덕트, 버누울리 시프트 위의 국소적으로 상수인 스위프트 프로덕트.
• 증명은 접근성 또는 전체 체적 보존 구조에 의존하지 않아 이전 결과보다 더 넓은 적용 가능성을 가진다.
• 저자들은 결과가 고차원 섬유로까지 확장될 수 있을 것이라 추측하며, 일반적인 경우 최소한 하나의 양의 리아풀로프 지수를 가질 것으로 보고 있다.