[논문 리뷰] On the geometry of exotic nilpotent cones

Syu Kato|arXiv (Cornell University)|2006. 07. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 심플렉틱 군 Sp(2n, C)에 대한 이국적 면제 콘 N의 기하학을 조사하며, G-궤도와 그들이 C 유형의 웨일 군에 대한 스프링거 유형 대응에서 수행하는 역할에 중점을 둔다. 비자명한 국소 시스템이 없는 이중 사상 대응을 확립하며, 이는 A 유형의 경우와 유사하게 작용한다. 이론의 중심에는 V = V₁ ⊕ V₂로 표현되는 이국적 표현이 있으며, V₁과 V₂는 각각 최고 무게 ǫ₁과 ǫ₁ + ǫ₂를 갖는다.

ABSTRACT

This paper is a sequel to [K]. Let G be a complex symplectic group. In [K], we constructed a certain G-variety N = N1, which we call the (1-) exotic nilpotent cone. In this paper, we study the set of G-orbits of the variety N. It turns out that the variety N gives a variant of the Springer correspondence for the Weyl group of type C, but shares a similar flavor with that of type A case. (I.e. there appears no non-trivial local system and the correspondence is bijective.) 1 Main results Let G = Sp(2n, C) be a complex symplectic group. Let B and T be its Borel subgroup and a maximal torus of B, respectively. We denote by X ∗ (T) the character group of T. Let R be the root system of (G, T) and let R + be its positive part defined by B. Let W: = NG(T) be the Weyl group of (G, T). We denote by W ∨ the set of isomorphism classes of simple W-modules. We embed R and R + into a n-dimensional Euclid space E = ⊕iCǫi as: R + = {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi} ⊂ {±ǫi ± ǫj} ∪ {±2ǫi} = R ⊂ E. We define V1: = C2n and V2: = (∧2V1)/C. These representations have B-highest weights ǫ1 and ǫ1 + ǫ2, respectively. We put V: = V1 ⊕ V2 and call it the exotic representation of Sp(2n). For a G-module V, we define its weight λ-part (with respect to T) as V [λ]. The positive part V + of V is defined as

연구 동기 및 목표

• Sp(2n, C)의 이국적 면제 콘 N 내 G-궤도의 구조를 이해하는 것.
• 이국적 표현을 사용하여 C 유형의 웨일 군에 대한 스프링거 대응을 일반화하는 것.
• 대응이 이중적이며 비자명한 국소 시스템이 없음을 보이며, A 유형의 경우와 유사하게 작용하는지 확인하는 것.
• B-최고 무게가 각각 ǫ₁과 ǫ₁ + ǫ₂인 이국적 표현 V = V₁ ⊕ V₂를 정의하고 분석하는 것.
• 근계 R와 그 양근 부분 R⁺을 유클리드 공간 E = ⊕iCǫi에 통합하여 기하학적 및 표현론적 분석을 수행하는 것.

제안 방법

• 복소 심플렉틱 군 G = Sp(2n, C), 보렐 부분군 B, 최대 토러스 T를 정의하고, 근계 R와 양근 R⁺를 고정한다.
• 근계 R을 n차원 유클리드 공간 E = ⊕iCǫi에 통합하며, R⁺ = {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi}이고 R = {±ǫi ± ǫj} ∪ {±2ǫi}이다.
• 이국적 표현 V = V₁ ⊕ V₂를 구성하며, V₁ = C²ⁿ이고 V₂ = (∧²V₁)/C이며, 각각 B-최고 무게는 ǫ₁과 ǫ₁ + ǫ₂이다.
• 최대 토러스 T에 대한 G-모듈러 V의 무게 공간 분해 V[λ]를 정의한다.
• V의 양부분 V⁺을 양근에 해당하는 무게 공간의 직합으로 정의한다.
• 웨일 군 W = NG(T)와 그 간단한 W-모듈러의 집합 W∨을 사용하여 궤도 구조와 대응을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sp(2n, C)의 이국적 면제 콘 N 내 G-궤도는 기하학적으로 어떻게 분해되는가?
• RQ2 이국적 표현을 사용하여 C 유형의 웨일 군에 대한 스프링거 유형 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ3 C 유형의 대응은 A 유형의 경우와 마찬가지로 이중적이며 국소 시스템이 없는 성질을 갖는가?
• RQ4 이국적 표현 V = V₁ ⊕ V₂는 대응을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 근계 R을 E = ⊕iCǫi에 통합하는 것은 궤도 및 표현 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이국적 면제 콘 N은 G-작용을 갖으며, 그 궤도 공간은 간단한 W-모듈러의 집합과 이중적으로 대응되며, 비자명한 국소 시스템이 존재하지 않는다.
• 이국적 콘을 통한 C 유형의 스프링거 대응은 A 유형의 경우와 유사하게 단순성과 이중성의 특성을 갖는다.
• V₁ = C²ⁿ이고 V₂ = (∧²V₁)/C인 이국적 표현 V = V₁ ⊕ V₂는 각각 최고 무게 ǫ₁과 ǫ₁ + ǫ₂를 갖는 기본 표현을 실현한다.
• V의 양부분 V⁺은 근계 내 양근 λ에 해당하는 무게 공간 V[λ]의 직합으로 정의된다.
• 근계 R⁺는 E = ⊕iCǫi에 {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi}로 통합되어 C 유형의 양근을 이룬다.
• 웨일 군 W = NG(T)는 N의 궤도 공간에 작용하며, 궤도와 단순한 W-모듈러 사이의 대응은 자연스럽고 이중적이다.