[논문 리뷰] On the geometry of higher-order variational problems on Lie groups

Leonardo Colombo, David Martı́n de Diego|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 16.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 20인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 스키닝-르스크 형식과 왼쪽 비틀림화된 고차 미분다발을 이용하여 리 군 위에서의 고차 변분 문제를 위한 내재 기하 구조를 개발한다. 이를 통해 고차 오일러-포이아르 방정식을 유도하고, SO(3)에서의 강체 등 리 군 위의 과도제어 기계 시스템에 이 형식을 적용하여 역학과 제어 설계를 위한 통합적이고 제약 조건에 적합한 수식을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we describe a geometric setting for higher-order lagrangian problems on Lie groups. Using left-trivialization of the higher-order tangent bundle of a Lie group and an adaptation of the classical Skinner-Rusk formalism, we deduce an intrinsic framework for this type of dynamical systems. Interesting applications as, for instance, a geometric derivation of the higher-order Euler-Poincaré equations, optimal control of underactuated control systems whose configuration space is a Lie group are shown, among others, along the paper.

연구 동기 및 목표

• 리 군 위에서의 고차 라그랑주 시스템을 위한 내재 기하 수식을 개발하는 것.
• 리 군의 구조를 기반으로 한 변분 원리에 의해 고차 역학으로의 오일러-포이아르 축소를 일반화하는 것.
• 구성공간이 리 군인 과도제어 기계 시스템의 최적 제어 문제에 이 형식을 적용하는 것.
• 고차 역학을 위한 편미분형 해밀턴 수식을 폰트리아긴 다발을 통해 일관되고 보존형으로 제공하는 것.
• 이 형식을 이산 시스템으로 확장하고 향후 리 알지브로이드로의 일반화를 위한 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 리 군의 고차 미분다발을 왼쪽 비틀림화하여 동역학을 리 대수 원소의 형태로 기술한다.
• 고차 시스템을 위한 라그랑주 및 해밀턴 구조를 통합하기 위해 스키닝-르스크 형식을 적응한다.
• 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 모델링하기 위해 폰트리아긴 다발 $ G \times k\mathfrak{g} \times k\mathfrak{g}^* $ 을 도입한다.
• 편미분형 해밀턴 수식의 일관성을 확보하기 위해 제약 알고리즘을 적용한다.
• 일반적 형식의 특수한 경우로 $ k $-차 오일러-포이아르 방정식을 도출한다.
• 세 개의 군 복사본을 이용하여 이산 두 번째 차수 오일러-라그랑주 방정식을 정의하는 형식의 이산판을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스키닝-르스크 형식을 사용하여 리 군 위의 고차 변분 문제를 어떻게 내재적이고 기하학적으로 수식화할 수 있는가?
• RQ2 과도제어 입력이 있는 리 군 위의 최적 제어 문제의 동역학에 대한 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 제안된 형식은 변분 원리로부터 고차 오일러-포이아르 방정식을 어떻게 복원하고 일반화하는가?
• RQ4 리 군 위의 고차 시스템에서 편미분형 해밀턴 수식의 일관성에 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 형식은 이산 역학으로 확장되고 리 알지브로이드로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 제안된 형식의 기하학적 결과로서 $ k $-차 오일러-포이아르 방정식을 도출하였으며, 이는 이전의 변분 처리 결과와 일치한다.
• 이 형식은 SO(3) 위의 과도제어 시스템, 예를 들어 인공위성 자세 제어를 포함한 시스템을 성공적으로 모델링하였으며, $ c_1 = 1/2, c_2 = 1/2 $ 및 $ c_1 = 1/2, c_2 = 0 $ 에 대해 명시적 해를 제공한다.
• 특수한 경우인 $ c_1 = 0, c_2 = 1 $ 에서는 $ \frac{d\Omega_3}{dt} = 0 $ 를 만족하는 특정 궤도만 허용되며, 이는 경계 조건이 임의적이지 않음을 보여준다.
• 이산 형식은 $ L_d: G \times G \times G \to \mathbb{R} $ 의 변분을 통해 이산 두 번째 차수 오일러-라그랑주 방정식을 도출하며, $ \Sigma_k $ 에서의 경계 조건이 적용된다.
• 형식은 제약 알고리즘과 일관되며, 편미분형 해밀턴 설정에서 역학의 잘 정의됨을 보장한다.
• 저자들은 향후 연구에서 이 형식을 고차 리 알지브로이드로 일반화하고, 사상에 의한 축소를 위한 길을 제시한다.