[논문 리뷰] On the Geometry of Tangent Bundles with the Rescaled Metric

Jian Wang, Yong Wang|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 위의 접선(bundle)에 대해 스케일링된 사사키 및 케이저-그로몰 메트릭을 갖춘 미분기하학을 조사한다. 이 스케일링된 메트릭 하에서 리만 접속과 리만 곡률 텐서에 대한 명시적 공식을 유도하며, 지선과 섹션 곡률을 특성화한다. 특히, 접선(bundle)의 스칼라 곡률이 원래 다양체의 곡률과 스케일링 함수에 의존함을 보여준다.

ABSTRACT

For a Riemannian manifold $M$, we determine some curvature properties of a tangent bundle equipped with the rescaled metric.The main aim of this paper is to give explicit formulae for the rescaled metric on $TM$, and investigate the geodesics on the tangent bundle with respect to the rescaled Sasaki metric.

연구 동기 및 목표

• 리만 다양체 $(M,g)$ 의 접선(bundle) $TM$ 에 대해 스케일링된 메트릭의 일반적 프레임워크를 수립함으로써 사사키 및 케이저-그로몰 메트릭을 일반화함.
• 스케일링된 사사키 메트릭에 대해 $TM$ 에서 리만 접속과 리만 곡률 텐서를 계산함.
• 스케일링된 사사키 메트릭 하에서 $TM$ 에서의 지선을 분석함.
• 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭을 갖춘 접선(bundle)의 곡률 성질(특히 섹션 곡률과 스칼라 곡률)을 조사함.
• 기저 다양체 $(M,g)$ 와 $(TM, \tilde{g}^f)$ 의 기하학적 불변량 사이의 명시적 관계를 수립함. 특히 일정 곡률 조건 하에서.

제안 방법

• 기저 다양체 $M$ 에 정의된 $C^\infty$ 양수 함수 $f$ 를 통해 수평 및 수직 성분을 스케일링하여 $TM$ 에 자연스러운 스케일링된 메트릭 클래스 $\bar{g}^f$ 를 도입함.
• Koszul 공식을 이용해 $TM$ 에서의 리만 접속 $\overline{\nabla}^f$ 를 유도하며, 이의 성분을 $f$, $M$ 에서의 리만 접속 $\nabla$, 그리고 $M$ 의 리만 곡률 텐서 $R$ 으로 표현함.
• 유도된 접속과 곡률 성분을 이용해 스케일링된 사사키 메트릭의 리만 곡률 텐서 $\hat{R}^f$ 를 계산함.
• 스케일링된 사사키 메트릭에서 유도된 지선 방정식을 풀어 $TM$ 에서의 지선을 분석함. 이때 스케일링 함수 $f$ 의 역할을 중점적으로 다룸.
• 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭 $\tilde{g}^f$ 에 대해, 원래 곡률 $\kappa$, 스케일링 함수 $f$, 그리고 $g(u,X)$ 와 같은 기하학적 자료를 포함한 섹션 곡률 $\tilde{K}^f$ 의 명시적 표현을 유도함.
• 기저 다양체의 스칼라 곡률 $S$, 곡률 수축 $|R(e_i,e_j)u|^2$, 그리고 매개수 $\alpha$ 와 차원 $m$ 을 포함한 항들을 합산하여 $(TM, \tilde{g}^f)$ 의 스칼라 곡률 $\tilde{S}^f$ 를 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 다양체 $M$ 의 기하학에 따라, 매끄러운 양수 함수 $f$ 를 통한 일반적인 사사키 메트릭 스케일링 하에서 접선(bundle) $TM$ 의 리만 접속과 곡률 텐서는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 스케일링된 사사키 메트릭을 갖춘 $TM$ 에서의 지선 방정식은 무엇이며, 이는 기저 다양체 $M$ 의 기하학에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 기저 다양체 $M$ 이 일정한 섹션 곡률을 갖는 경우, 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭을 갖춘 접선(bundle) $TM$ 의 명시적 섹션 곡률 공식은 무엇인가?
• RQ4 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭을 갖춘 $TM$ 의 스칼라 곡률은 기저 다양체 $M$ 의 스칼라 곡률과 곡률 텐서와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 기저 다양체 $M$ 의 어떤 기하학적 불변량들이 $TM$ 에서의 스케일링된 메트릭 구조 하에서 유지되거나 변형되는가?

주요 결과

• 스케일링된 사사키 메트릭을 갖춘 $TM$ 에서의 리만 접속 $\overline{\nabla}^f$ 는 $f$, $\nabla$, 곡률 텐서 $R$ 을 포함한 성분들로 완전히 특성화되며, $R(X,Y)u$ 를 포함한 혼합된 수평-수직 항이 존재한다.
• 일정한 섹션 곡률 $\kappa$ 를 갖는 다양체에 대해, 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭 하에서 $TM$ 의 섹션 곡률 $\tilde{K}^f$ 는 수평 쌍에 대해 $\frac{1}{f^3}\kappa - \frac{3\kappa^2}{4\alpha f^4}(g(u,X)^2 + g(u,Y)^2) + \frac{1}{f^2}\tilde{L}^f(X,Y)$ 로 명시적으로 주어진다.
• 정규직교 기저 $X,Y$ 에 대해 수직 벡터 $X^v, Y^v$ 에 대한 섹션 곡률 $\tilde{K}^f(X^h, Y^v)$ 는 $\frac{1}{4\alpha f^3}\frac{\kappa^2 g(X,u)^2}{1 + g(Y,u)^2}$ 로 주어지며, 이는 $\kappa$ 와 섬유 내 위치 $u$ 에 의존함을 보여준다.
• 수직 벡터에 대한 섹션 곡률 $\tilde{K}^f(X^v, Y^v)$ 는 $\frac{1 - \alpha}{\alpha^2} + \frac{2 + \alpha}{\alpha} \frac{1}{1 + g(Y,u)^2 + g(X,u)^2}$ 로 주어지며, 곡률에 무관하게 $\alpha$ 와 섬유 노름에 의존함을 보여준다.
• 스케일링된 케이저-그로몰 메트릭을 갖춘 $TM$ 의 스칼라 곡률 $\tilde{S}^f$ 는 $S_p + \frac{2\alpha - 3}{4\alpha f^4} \sum_{i,j=1}^m |R(e_i,e_j)u|^2 + \frac{1}{f^2} \sum_{i,j=1}^m \tilde{L}^f(X,Y) + \frac{m-1}{\alpha^2}[6 + (m-2)(\alpha^2 + \alpha + 1)]$ 로 주어지며, 이는 $f$, $\alpha$, 곡률에 복잡한 의존성을 보여준다.
• 정규직교 기저 $\{t_i\}$, $\{t_{m+k}\}$ 를 갖는 $T_{(p,u)}TM$ 에서, 섹션 곡률 $\tilde{K}^f(t_i,t_{m+k}) = \frac{1}{4f^3}|R(u,e_k)e_i|^2$ 와 $\tilde{K}^f(t_{m+1},t_{m+k}) = \frac{3}{\alpha^2}$ 는 명시적으로 계산되었으며, 이는 비트리비얼한 섬유 의존성 행동을 드러낸다.