[논문 리뷰] On the geometry of the connection with totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 05.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 거의 복소다양체에 노르덴 계량을 지닌 경우에 대해 완전히 비대칭 토르션을 가진 유일한 선형 접속을 조사하며, 비-카플러 다양체에서 이러한 접속의 존재 및 유일성은 준-카플러 구조를 암시한다. 주요 기여는 이러한 접속이 존재하는 것과 준-카플러 다양체일 것임을 보이며, 접속과 곡률 텐서에 대한 명시적 공식을 유도하여, 평행한 토르션과 카플러 곡률이 등장할 경우 등방성 카플러 구조가 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider an almost complex manifold with Norden metric (i. e. a metric with respect to which the almost complex structure is an anti-isometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew symmetric torsion tensor (i. e. a 3-form). We prove that if a non-Kaehler almost complex manifold with Norden metric admits such connection then the manifold is quasi-Kaehlerian (i. e. has non-integrable almost complex structure). We prove that this connection is unique, determine its form, and construct an example of it on a Lie group. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

연구 동기 및 목표

• Norden 계량을 지닌 거의 복소다양체에서 완전히 비대칭 토르션을 가진 선형 접속의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 특히 비-카플러 설정에서 이러한 접속이 존재할 수 있는 기하 조건을 특성화하는 것.
• 토르션이 평행하거나 곡률이 카플러일 경우 접속의 형태와 그 곡률 텐서를 결정하는 것.
• 스칼라 곡률과 곡률 텐서를 바탕으로 다각체가 등방성 카플러일 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 거의 복소다양체의 구조 J 와 Norden 계량 g 를 유지하는 선형 접속 ∇′ 을 구성하며, 토르션 텐서 T 는 3형식(완전히 비대칭)임을 보장한다.
• 변환 텐서 Q 를 통해 ∇′ 의 명시적 형태를 유도하며, 이를 레비-치비타 접속 ∇ 과 ∇J 를 통한 니젠후이스 텐서와 연결한다.
• 곡률 성질을 분석하기 위해 곡률 공식 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w)) 를 사용한다.
• 첫 번째 비앙키 항등식을 적용하여 R′ 이 카플러 텐서가 되는 조건을 도출하며, 이는 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 조건에 도달한다.
• ||∇J||² 의 제곱 노름을 사용하여 등방성 카플러 다각체를 정의하고, ∇ 와 ∇′ 의 스칼라 곡률 간의 관계를 규명한다.
• 리 군 위에서 4개의 매개변수를 가진 4차원 준-카플러 다각체의 가족을 구성함으로써 접속의 구체적 예를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-카플러 거의 복소다양체에 Norden 계량이 존재할 때, J 와 g 를 유지하는 완전히 비대칭 토르션을 가진 선형 접속이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 접속의 명시적 형태는 무엇이며, 유일한가?
• RQ3 이 접속의 토르션이 평행해지는 조건은 무엇이며, 이를 만족할 경우 어떤 기하적 제약이 발생하는가?
• RQ4 이 접속의 곡률 텐서가 카플러일 때는 언제이며, 이는 기저 다각체에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 레비-치비타 접속과 새로운 접속의 스칼라 곡률 간의 관계는 무엇이며, 언제 동일한가?

주요 결과

• 비-카플러 거의 복소다양체에 Norden 계량이 존재할 때, 완전히 비대칭 토르션을 가진 선형 접속이 존재하는 것은 준-카플러일 때에만 가능하다.
• 접속 ∇′ 는 유일하며, 레비-치비타 접속과 텐서 ∇J 를 통해 명시적으로 유도된다.
• 접속 ∇′ 이 카플러 곡률 텐서를 가질 조건은 순환 합 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 이 성립할 때이다.
• 만약 ∇′ 이 평행한 토르션과 카플러 곡률 텐서를 모두 가진다면, 다각체는 등방성 카플러일 것이며, 즉 ||∇J||² = 0 이다.
• ∇ 와 ∇′ 의 스칼라 곡률이 동일한 것은 다각체가 등방성 카플러일 때에만 성립한다.
• 리 군 위에서 4개의 매개변수를 가진 4차원 준-카플러 다각체의 가족을 구성하였으며, 이 가족에 대해 ∇′ 이 명시적으로 계산되었다.