[논문 리뷰] On the global solvability of the axisymmetric Boussinesq system with critical regularity

Haroune Houamed, Mohamed Zerguine|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 28.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 50인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초기 속도가 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $이고 초기 밀도가 $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $인 조건 하에서, 3차원 축대칭 보우신스끄 시스템의 영 diffusivity 조건에서 전역 적으로 잘 정의됨을 확립한다. 나비에-스토크스 분석에 영감을 받은 정밀화된 $ L^p_t(L^q_x) $-유형 프레임워크를 적응하고 베소프 공간에서의 그론발 유형 추정을 활용하여, 확산이 없는 상황에서도 전역 존재성과 유일성을 달성하였으며, 이는 [14, 24]의 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The current paper is principally motivated by establishing the global well-posedness to the three-dimensional Boussinesq system with zero diffusivity in the setting of axisymmetric flows without swirling with $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$ and density $\ ho_0\\in L^2(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$. This respectively enhances the two results recently accomplished in \\cite{Danchin-Paicu1, Hmidi-Rousset}. Our formalism is inspired, in particular for the first part from \\cite{Abidi} concerning the axisymmetric Navier-Stokes equations once $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)$ and external force $f\\in L^2_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};H^{\\beta}(\\mathbb{R}^3)\\big)$, with $\\beta>\\frac14$. This latter regularity on $f$ which is the density in our context is helpless to achieve the global estimates for Boussinesq system. This technical defect forces us to deal once again with a similar proof to that of \\cite{Abidi} but with $f\\in L^{\\beta}_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};L^2(\\mathbb{R}^3))$ for some $\\beta>4$. Second, we explore the gained regularity on the density by considering it as an external force in order to apply the study already obtained to the Boussinesq system.

연구 동기 및 목표

• 초기 데이터에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 3차원 축대칭 보우신스끄 시스템의 전역 적으로 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 속도에 대해 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $, 밀도에 대해 $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $인 임계 공간에서의 초기 데이터를 다루어 [14, 24]의 이전 결과를 확장하는 것.
• 표준적인 $ H^\beta $ 강제항 추정이 실패하는 상황에서 확산이 없는 문제를 극복하기 위해 밀도를 외부 힘으로 간주하고 정밀화된 $ L^p_t(L^q_x) $ 추정을 적용하는 것.
• 보우신스끄 시스템에 맞게 [1]의 방법을 수정한 새로운 프레임워크를 개발하여 임계 베소프 노름에서 속도와 밀도를 추정하는 것.

제안 방법

• 초기 데이터의 강제항으로서의 밀도를 다루기 위해, [1]의 축대칭 나비에-스토크스 방정식에 대한 $ L^p_t(L^q_x) $-유형 프레임워크를 보우신스끄 시스템에 적응시켰으며, $ f \in L^\beta_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^2) $, $ \beta > 4 $, 를 $ H^\beta $ 대신 사용함으로써, 밀도를 외부 힘으로 간주한다.
• 보니의 이중곱 분해와 리틀우드-파일리 이론을 사용하여 $ \dot{B}^{1}_{3,1} $ 및 $ \dot{B}^{0}_{3,1} $ 공간에서 비선형 항을 추정한다.
• 양함수 $ \mathcal{V}(t) = \|v\|_{\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} $ 에 그론발의 부등식을 적용하여, 초기 데이터와 에너지 유형 노름에 의존하는 $ \mathcal{A}(t) $ 및 $ \mathcal{B}(t) $ 를 통해 시간에 따른 지수적 경계를 도출한다.
• $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 에서의 속도 제어와 $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 에서의 밀도 제어를 반복적 추정과 임bedding 정리로 확립한다.
• 에너지와 베소프 공간 노름 사이의 다리를 놓기 위해 임베딩 $ E_T(H^{1/2}) \hookrightarrow L^4_T(\dot{H}^1) $ 를 사용한다.
• 두 해의 차이를 $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ 에서 추정하여 [14]의 추론을 일반 시스템에 적응시킴으로써 유일성을 증명한다. 이 경우 이중선형 구조에 의존하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 정규성 조건 하에서 초기 데이터에 대해 3차원 축대칭 보우신스끄 시스템의 영 diffusivity 조건에서 전역 적으로 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ2 표준적인 $ H^\beta $ 강제항 추정이 실패하는 상황에서 확산이 없는 분석에서 이를 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 비선형 항이 없는 밀도 방정식에서, 임계 베소프 노름에서 속도와 밀도를 제어할 수 있는 정밀화된 함수 공간 프레임워크는 무엇인가?
• RQ4 임계 공간 설정인 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^0_{3,1} \times L^2 \cap \dot{B}^0_{3,1} $ 에서 해는 유일한가?
• RQ5 강제항(밀도)이 $ L^\beta_t(L^2_x) $, $ \beta > 4 $ 에 속할 때, 나비에-스토크스 방정식에 사용된 방법을 보우신스끄 시스템에 적응시킬 수 있는가? $ H^\beta $ 가 아닌 경우이다.

주요 결과

• 초기 데이터 $ v_0 \in H^{1/2}(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $ 및 $ \rho_0 \in L^2(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $ 에 대해 3차원 축대칭 보우신스끄 시스템의 영 diffusivity 조건에서 전역 존재성과 유일성이 확립된다.
• 속도는 $ \|v\|_{\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} \lesssim \mathcal{A}(t) e^{t \mathcal{B}(t)} $ 를 만족하며, $ \mathcal{A}(t) $, $ \mathcal{B}(t) $ 는 모든 $ t < \infty $ 에서 유한하므로 전역 제어가 보장된다.
• 밀도는 $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 에서 유계이고, 그론발 유형 추정을 통해 속도는 $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 에서 제어된다.
• 증명은 [1]에서의 $ H^\beta $ 가정이 이 맥락에서 실패하므로, 강제항에 대해 $ \beta > 4 $ 인 정밀화된 $ L^p_t(L^q_x) $-유형 추정을 사용하여 대체한다.
• 두 해의 차이를 $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ 에서 추정함으로써 임계 공간 프레임워크에서 유일성이 확립되며, 이는 이중선형 구조에 의존하지 않는다.
• 이 방법은 [14, 24]의 결과를 축소 없이, 축대칭성과 난류 없음 외에 추가 대칭성이 없는 임계 정규성 영역에서 성공적으로 확장한다.