[논문 리뷰] On the Global Structure of Deformed Yang-Mills Theory and QCD(adj) on $\mathbb R^3 imes \mathbb S^1$

Mohamed M. Anber, Erich Poppitz|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 04.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 위에서 변형 양-밀스 이론과 QCD(adj)의 전반적 구조를 분석함으로써, 일차 중심 대칭의 $\mathbb{Z}_k$ 부분군을 규칙화함으로써 유도되는 서로 다른 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 게이지 이론들(다른 이산 $\theta$-각도를 가짐)이 어떻게 나타나는지 조사한다. 도메인 벽과 봉쇄 스트링을 통해 진공 구조의 물리적 그림을 제공하고, 중심 대칭이 전기 및 자기 자유도에 어떻게 작용하는지 밝혀내며, 서로 다른 기저 상태를 규명한다. 주요 결과로는 유한온도 복잡화에서의 분리 전이 근처에서 효과적인 크라머스-반어 이중성이 나타나는 것이다.

ABSTRACT

Spatial compactification on $\mathbb R^{3} imes \mathbb S^1_L$ at small $\mathbb S^1$-size $L$ often leads to a calculable vacuum structure, where various "topological molecules" are responsible for confinement and the realization of the center and discrete chiral symmetries. Within this semiclassically calculable framework, we study how distinct theories with the same $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ gauge group (labeled by "discrete $θ$-angles") arise upon gauging of appropriate $\mathbb Z_k$ subgroups of the one-form global center symmetry of an $SU(N_c)$ gauge theory. We determine the possible $\mathbb Z_k$ actions on the local electric and magnetic effective degrees of freedom, find the ground states, and use domain walls and confining strings to give a physical picture of the vacuum structure of the different $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ theories. Some of our results reproduce ones from earlier supersymmetric studies, but most are new and do not invoke supersymmetry. We also study a further finite-temperature compactification to $\mathbb R^{2} imes \mathbb S^1_β imes\mathbb S^1_L$. We argue that, in deformed Yang-Mills theory, the effective theory near the deconfinement temperature $β_c \gg L$ exhibits an emergent Kramers-Wannier duality and that it exchanges high- and low-temperature theories with different global structure, sharing features with both the Ising model and $S$-duality in ${\cal N}$$=$$4$ supersymmetric Yang-Mills theory.

연구 동기 및 목표

• 게이지화된 $\mathbb{Z}_k$ 부분군이 $SU(N_c)$ 양-밀스 이론의 일차 중심 대칭에서 유래하는 서로 다른 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 게이지 이론이 어떻게 나타나는지 체계적으로 분석하는 것.
• 도메인 벽과 봉쇄 스트링을 사용하여 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 위에서 이 이론들의 진공 구조에 물리적 해석을 제공하는 것.
• 효과 이론에서 국소 전기 및 자기 자유도에 대한 중심 대칭의 0형 부분이 어떻게 작용하는지 규명하는 것.
• 유한온도 복잡화 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$에서의 전반적 구조의 역할을 연구하고, 나타나는 이중성을 식별하는 것.
• 이전의 초대칭 프레임워크를 초월하여 비초대칭 이론에 대한 전반적 구조 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 도메인 벽과 봉쇄 스트링의 상호작용을 분석하여 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 위에서 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 이론의 진공 구조를 특성화하는 것.
• 새로운 좌표 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$로의 선형 변환을 통해 효과 이론에서 중심 대칭이 전기 및 자기 자유도에 작용하는 방식을 유도하는 것.
• 역행렬 벡터 $\boldsymbol{\cal C}_i$를 사용하여 군 격자를 대각화하고 $\mathbb{Z}_k$ 게이지 군의 기본 영역을 단순화하는 것.
• $\mathbb{Z}_k$ 중심 대칭에 대한 진공의 변환 성질을 분석하여 상호로 국소적이고 게이지 불변인 연산자를 구성하는 것.
• $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$에서 분리 전이 근처의 효과 이론을 연구하여 나타나는 크라머스-반어 이중성을 식별하는 것.
• $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 좌표에서의 잠재 에너지 최소값을 계산하고 $k_a$ 값에 따라 다른 분류를 통해 서로 다른 $\mathbb{Z}_k$-틀린 이론을 식별하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 $su(N_c)$ 리 대칭을 가진 서로 다른 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 게이지 이론들이 일차 중심 대칭의 $\mathbb{Z}_k$ 부분군을 규칙화함으로써 어떻게 유도되는가?
• RQ2 도메인 벽과 봉쇄 스트링이 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 위에서 $SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ 이론의 진공 구조를 구분하는 데 어떤 물리적 역할을 하는가?
• RQ3 효과 이론에서 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 위에서 중심 대칭의 0형 부분이 국소 전기 및 자기 자유도에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 유한온도 복잡화 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$에서 분리 전이 근처의 효과 이론의 성격은 무엇이며, 여기서는 잠재적 이중성이 나타나는가?
• RQ5 이산 $\theta$-각도가 동일한 게이지 군과 리 대칭을 가진 서로 다른 이론을 어떻게 표기하며, 이는 진공 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• SU(4)/$\mathbb{Z}_2$의 경우, $\mathbb{Z}_2$ 중심 대칭이 진공에 비자명하게 작용하여 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$일 때 서로 다른 진공의 수가 16에서 8로 감소하며, 이는 $[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_0$ 이론에 해당한다.
• 일 때 $k_1 = 1, k_2 = k_3 = 0$, 중심 대칭은 진공을 쌍으로 식별한다: $1 \leftrightarrow 4$, $2 \leftrightarrow 6$, $3 \leftrightarrow 7$, $5 \leftrightarrow 8$, 결과적으로 네 개의 서로 다른 진공만 존재하며, 이는 $[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_1$ 이론에 해당한다.
• SU(4)/$\mathbb{Z}_2$의 $\mathbb{Z}_2$ 군 격자의 기본 영역은 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 좌표에서 단위 벡터로 둘러싸인 입방체로 정규화되어 최소값과 대칭 작용 분석을 단순화한다.
• 변환 행렬 $TAT^{-1}$은 중심 대칭이 $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$ 좌표에 비자명하게 작용함을 명시적으로 보여주며, 고유값 $-1, 1, -1$은 비자명한 이동과 반사 구조를 나타낸다.
• 유한온도 복잡화 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$에서 분리 전이 근처의 효과 이론은 고온 및 저온 영역을 서로 바꾸는 잠재적 크라머스-반어 이중성을 보이며, 이는 서로 다른 전반적 구조를 가진다.
• 이 이중성은 2차원 이징 모델과 $\mathcal{N}=4$ SYM의 $S$-이중성과 공통된 특징을 공유하며, 전반적 구조를 가진 게이지 이론의 비표준 동역학에서 보편적인 구조가 존재함을 시사한다.