[논문 리뷰] On the Goodness-of-Fit Testing for Ergodic Diffusion Processes

Yury A. Kutoyants|ArXiv.org|2009. 03. 26.

Diffusion Coefficients in Liquids참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 휘어진 계수에 대한 단순 가설 하에서 확산 계수가 알려진 에르고딕 밀도 과정에 대해 渐近적으로 분포 자유(ADF) Cramér-von Mises 유형의 적합도 검정을 제안한다. 경험분포함수와 불변 밀도의 국소시간 추정기를 사용하여, 검정 통계량이 점점 더 분포 자유가 되도록 변환하는 방법을 도출함으로써, 다양한 모형에서 유효한 임계값을 확보하고, 모든 고정 대안에 대해 일致성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the goodness of fit testing problem for ergodic diffusion processes. The basic hypothesis is supposed to be simple. The diffusion coefficient is known and the alternatives are described by the different trend coefficients. We study the asymptotic distribution of the Cramer-von Mises type tests based on the empirical distribution function and local time estimator of the invariant density. At particularly, we propose a transformation which makes these tests asymptotically distribution free. We discuss the modifications of this test in the case of composite basic hypothesis.

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 밀도 과정에 대해 휘어진 계수에 대한 단순 가설 하에서 적합도 검정을 개발한다.
• 귀무가설 하에서 검정 통계량이 渐近적으로 분포 자유(ADF)가 되도록 보장하여, 다양한 모형에 대해 동일한 임계값을 사용할 수 있도록 한다.
• 특정 대안 추세 함수에 관계없이 모든 고정 대안에 대해 검정의 일치성을 확립한다.
• 모수 추정을 테스트 구성에 통합하여 복합 가설로의 프레임워크 확장을 시도한다.

제안 방법

• 경험분포함수와 불변 밀도의 국소시간 추정기를 기반으로 Cramér-von Mises 유형의 검정 통계량을 구성한다.
• 약한 수렴 이론을 사용하여 귀무가설 하에서 검정 통계량의 점점 더 분포를 도출한다.
• 기본 모형에 대한 의존성을 제거하여 점점 더 분포 자유성을 달성하기 위해 검정 통계량에 변환을 적용한다.
• 귀무가설 하에서 진정한 불변 밀도를 일致적으로 추정하기 위해 국소시간 기반의 불변 밀도 추정기를 사용한다.
• 귀무가설 하에서 통계량의 점점 더 정규분포 및 브라운브릿지의 기능으로 수렴함을 증명한다.
• 고정 대안 하에서 검정의 행동을 분석하여, 어떤 대안 추세 함수 하에서도 검정 통계량이 무한대로 발산함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르고딕 밀도 과정에 대해 Cramér-von Mises 유형의 검정이 귀무가설 하에서 점점 더 분포 자유(ADF)가 될 수 있는가?
• RQ2 연속 시간 샘플 경로로부터 불변 밀도를 어떻게 일관되게 추정할 수 있으며, 이를 통해 적합도 검정을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 어떤 변환을 통해 검정 통계량의 점점 더 분포가 모형 매개변수나 진짜 휘어진 함수에 의존하지 않게 할 수 있는가?
• RQ4 제안된 검정은 모든 고정 대안, 특히 귀무가설에서의 작은 편차를 포함하여 일치하는가?
• RQ5 Kullback-Leibler 거리로 정의된 대안 하에서 검정의 성능은 어떠한가? 그리고 이러한 경우에 왜 균일 일치성이 상실될 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 변환을 거친 후 제안된 검정 통계량은 브라운브릿지의 기능으로 수렴하여 점점 더 분포 자유가 된다.
• 모든 고정 대안에 대해 검정이 일치한다. 어떤 대안 추세 함수 하에서도 검정 통계량이 무한대로 발산하기 때문이다.
• 검정 통계량의 점점 더 분포는 기본 모형의 매개변수에 영향을 받지 않아, 다양한 밀도 모형 간에 통용 가능한 임계값을 제공한다.
• 국소시간 기반의 불변 밀도 추정기는 일관성을 확보하고 연속 시간 관측치로부터 검정 통계량을 구성하는 데 기여한다.
• Kullback-Leibler 거리로 정의된 대안, 예를 들어 진동하는 편향의 경우, 진짜 밀도와 귀무가설 밀도 간의 L2 거리가 소멸하기 때문에 검정은 균일 일치성을 失한다.
• 이러한 대안의 경우, 카이제곱 검정이 더 적합할 수 있으며, 최소 최대 최적일 수 있음을 논문에서 제안한다.