[논문 리뷰] On the Gromov hyperbolicity of convex domains in Cn

Hervé Gaussier, Harish Seshadri|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 02.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 n차원에서 경계에 비상수 해석적 디스크를 포함하는 유계 미분가능한 볼록 도메인에 대해 카바야시 거리계수를 부여할 경우, 그 도메인은 그로모프 초월성을 갖지 않는다는 것을 증명한다. 반대로, 특정한 약한 편평한 볼록 도메인—구체적으로 복소수 타원체 Dₚ (p ≥ 1)는 그로모프 초월성을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 정확한 기하학적 장벽을 제공하며, 기존의 강한 편평한 도메인 외에 새로운 예시 클래스를 제시한다.

ABSTRACT

We give a necessary complex geometric condition for a bounded smooth convex domain in Cn, endowed with the Kobayashi distance, to be Gromov hyperbolic. More precisely, we prove that if a smooth bounded convex domain contains an analytic disk in its boundary, then the domain is not Gromov hyperbolic for the Kobayashi distance. We also provide examples of bounded smooth convex domains that are not strongly pseudoconvex but are Gromov hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• ℂⁿ 내의 유계 미분가능한 볼록 도메인에 대해 카바야시 거리계수 하에서의 그로모프 초월성에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 미분가능한 약한 편평한 도메인(강한 편평하지 않은 경우)이 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성을 가질 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 경계에 해석적 디스크가 존재하는 것에 기반한 그로모프 초월성에 대한 기하학적 장벽을 제공하는 것.
• 강한 편평하지 않은 유계 초월성 볼록 도메인의 구체적 예를 제시하여, 기존의 강한 편평한 도메인 외의 새로운 클래스를 확장하는 것.

제안 방법

• ℂⁿ 내의 C∞ 미분가능한 유계 볼록 도메인이 경계에 비상수 해석적 디스크를 포함하면, 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성이 성립하지 않는다는 것을 증명한다.
• 경계 근처의 해석적 디스크에서 카바야시 거리계수의 행동을 분석하여, 지오데식 삼각형이 δ-초월성 조건을 만족하지 못함을 보인다.
• Lempert 정리와 Yau-Schwarz 보조정리를 활용하여 볼록 도메인에서 카바야시 거리계수와 켈러-아인슈타인 거리계수 사이의 비-등거리 동치 관계를 수립한다.
• Toponogov 비교 정리를 적용하여 복소수 타원체 Dₚ (p ≥ 1)에서 켈러-아인슈타인 거리계수의 단면 곡률이 두 음수 상수 사이로 유계임을 보이고, 이는 그로모프 초월성을 암시한다.
• 그로모프 초월성이 거리함수 간의 비-등거리 동치에 의해 유지된다는 사실을 활용하여, 켈러-아인슈타인 거리계수에서의 초월성을 카바야시 거리계수로 이 trasfer한다.
• Bergman 거리계수의 균일하게 음수인 헬름홀트 섹션 곡률을 활용하여, 카바야시 거리계수와 켈러-아인슈타인 거리계수 사이의 비-등거리 동치 관계를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂⁿ 내의 미분가능한 유계 볼록 도메인의 경계에 해석적 디스크가 존재하면, 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성이 방해받는가?
• RQ2 ℂⁿ 내의 미분가능한, 약한 편평한, 강한 편평하지 않은 도메인은 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성을 가질 수 있는가?
• RQ3 유계 볼록 도메인에 대해 카바야시 거리계수 하에서의 그로모프 초월성을 특징짓는 정확한 복소기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ4 p ≥ 1 인 복소수 타원체 Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1}는 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성을 갖는가?
• RQ5 볼록 도메인에서 카바야시 거리계수와 켈러-아인슈타인 거리계수 사이의 비-등거리 동치 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• ℂⁿ 내의 C∞ 미분가능한 유계 볼록 도메인이 경계에 비상수 해석적 디스크를 포함하면, 그 도메인의 카바야시 거리계수는 그로모프 초월성이 아니다.
• 복소수 타원체 Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1}는 p ≥ 1 인 경우 카바야시 거리계수 하에서 그로모프 초월성이다.
• Dₚ에서의 카바야시 거리계수는 켈러-아인슈타인 거리계수와 비-등거리 동치이며, 이 거리계수의 단면 곡률은 두 음수 상수 사이로 유계이다.
• Dₚ에서의 켈러-아인슈타인 거리계수의 단면 곡률은 균일하게 음수이며, Dₚ가 단순연결이므로 이 거리계수 하에서 그로모프 초월성이다.
• 그로모프 초월성이 비-등거리 동치에 의해 유지되므로, Dₚ는 카바야시 거리계수 하에서도 그로모프 초월성이다.
• 결과적으로, 강한 편평하지 않은 도메인에서도 그로모프 초월성이 성립할 수 있음을 보여주며, 강한 편평한 경우 외의 새로운 예시 클래스를 제공한다.