[논문 리뷰] On the Gromov hyperbolicity of strongly pseudoconvex domains in almost complex manifolds

Florian Bertrand, Hervé Gaussier|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 22.

Geometry and complex manifolds인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 거의 복소다양체 $ (M,J) $ 안의 부드럽고 상대적으로 컴act한 도메인 $ D = \{ \rho < 0 \} $ 이며, $ \overline{D} $ 근처에서 엄격한 $ J $-다중하모닉 함수인 정의 함수 $ \rho $ 를 갖는 경우, 경계가 연결되어 있고, Gromov 초구형임을 증명한다. 이 결과는 다중하모닉 기하학을 활용하여 복소기하학의 초구형 개념을 거의 복소기하로 확장한다.

ABSTRACT

Let $D=\{ ho < 0\}$ be a smooth relatively compact domain in an almost complex manifold $(M,J)$, where $ ho$ is a smooth defining function of $D$, strictly $J$-plurisubharmonic in a neighborhood of the closure $\overline{D}$ of $D$. We prove that $D$ has a connected boundary and is Gromov hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• 강한 준볼록 도메인의 기하학적 구조를 조사한다.
• 이러한 도메인이 메트릭 기하학에서 중요한 성질인 Gromov 초구형성을 띠는지 여부를 규명한다.
• 복소기하학의 결과를 더 넓은 거의 복소다양체의 맥락으로 확장한다.
• 이러한 도메인의 경계가 연결되어 있고, 메트릭 공간이 초구형인 조건을 설정한다.

제안 방법

• 도메인 $ D $ 근처에서 엄격한 $ J $-다중하모닉 함수인 부드러운 정의 함수 $ \rho $ 를 사용한다.
• 특히 $ J $-다중하모닉 함수의 행동에 초점을 맞춘 거의 복소기하학 기법을 적용한다.
• $ J $ 가 유도하는 리만 곡률과 리만 형식을 이용해 도메인 $ D $ 의 내재 기하학을 분석한다.
• 메트릭 공간 기법을 활용하여 $ \rho $ 의 엄격한 다중하모닉성에서 Gromov 초구형성을 유도한다.
• 엄격한 $ J $-다중하모닉성의 위상적 및 기하학적 결과에 기반하여 연결성과 초구형성을 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 복소다양체 내 강한 준볼록 도메인은 연결된 경계를 갖는가?
• RQ2 어떤 조건에서 이러한 도메인이 Gromov 초구형인가?
• RQ3 정의 함수의 엄격한 $ J $-다중하모닉성으로부터 도메인 $ D $ 의 Gromov 초구형성을 유추할 수 있는가?
• RQ4 거의 복소다양체 구조 $ J $ 는 도메인 $ D $ 의 초구형성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 도메인 $ D $ 는 엄격한 $ J $-다중하모닉성에 의해 $ \overline{D} $ 근처에서 유도되는 연결된 경계를 갖는다.
• 도메인 $ D $ 는 Gromov 초구형인데, 이는 내재 메트릭이 얇은 삼각형 조건을 만족하기 때문이다.
• 결과는 $ \rho $ 가 $ \overline{D} $ 근처에서 엄격한 $ J $-다중하모닉이 되는 조건 하에서 성립하며, 이는 강력한 기하학적 제어를 보장한다.
• 증명는 거의 복소다양체에서 $ J $-다중하모닉 기하학과 메트릭 초구형성 간의 상호작용에 기반한다.