[논문 리뷰] On the growth of torsion in the cohomology of arithmetic groups

Avner Ash, Paul E. Gunnells외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 GLₙ(ℤ) (n=3,4,5) 및 정수환 위의 GL₂(𝒪)를 포함한 산술군의 코homology에서 토판의 성장을 수치적으로 조사한다. 동치 하위군의 타워를 따라 Voronoi 호몰로지 계산을 사용하여, 열악도-1 군에서의 지수적 토판 성장에 대한 Bergeron–Venkatesh 추측과 강한 수치적 일치를 발견하였으며, Eisenstein 상승 및 더 느린 수렴과 같은 새로운 현상도 관측하였다. 결과는 추측된 점근적 한계를 지지하며, 원래 프레임워크를 초월한 두 가지 새로운 추측을 제기한다.

ABSTRACT

Let G be a semisimple Lie group with associated symmetric space D, and let Gamma subset G be a cocompact arithmetic group. Let L be a lattice inside a Z Gamma-module arising from a rational finite-dimensional complex representation of G. Bergeron and Venkatesh recently gave a precise conjecture about the growth of the order of the torsion subgroup H_i (Gamma_k; L )_tors as Gamma_k ranges over a tower of congruence subgroups of Gamma. In particular they conjectured that the ratio (log |H_i (Gamma_k ; L)_tors|)/[Gamma : Gamma_k] should tend to a nonzero limit if and only if i= (dim(D)-1)/2 and G is a group of deficiency 1. Furthermore, they gave a precise expression for the limit. In this paper, we investigate computationally the cohomology of several (non-cocompact) arithmetic groups, including GL_n (Z) for n=3,4,5 and GL_2 (O) for various rings of integers, and observe its growth as a function of level. In all cases where our dataset is sufficiently large, we observe excellent agreement with the same limit as in the predictions of Bergeron--Venkatesh. Our data also prompts us to make two new conjectures on the growth of torsion not covered by the Bergeron--Venkatesh conjecture.

연구 동기 및 목표

• 비 코컴팩트 산술군, 특히 GLₙ(ℤ) 및 GL₂(𝒪)의 코homology에서 동치 하위군의 타워를 따라 토판 성장을 조사하기 위해.
• Bergeron–Venkatesh 추측이 열악도-1 군에서 토판 성장을 예측하는 바를 계산 데이터를 통해 테스트하기 위해.
• 비 코컴팩트 군에서의 토판 성장 패턴이 원래 추측에서 벗어나거나 이를 확장하는지, 특히 높은 열악도 또는 다른 수준 가족에서 어떻게 되는지 탐색하기 위해.
• 원래 추측이 포괄하지 못하는 토판 코homology 클래스에서 관측된 새로운 현상들, 예를 들어 Eisenstein 상승을 식별하고 분석하기 위해.

제안 방법

• 산술군에 대한 알고리즘적 방법을 사용하여 GLₙ(ℤ) 및 GL₂(𝒪)의 동치 하위군의 Voronoi 호몰로지 계산하기.
• Voronoi 복합체를 사용하여 쌍대 차원에서 코homology를 계산함으로써 토판 부분군의 효율적 계산 가능하게 하기.
• 특히 소수 수준이 증가하는 경우와 다른 동치 하위군 가족에서의 수준 함수로서의 토판 성장 분석하기.
• Bergeron–Venkatesh 추측이 예측한 점근적 한계와 계산된 토판 순서를 비교하기.
• 큰 소수 거듭제곱(예: 11⁴, 17⁴, 31⁴)을 가진 토판 클래스 식별 및 그들 간의 대응 관계 분석하여 Eisenstein 상승을 시사하기.
• Borel–Serre 경계 성분의 위상수학적 분석을 통해 nilmanifold과 Levi 성분을 포함하는 스펙트럴 시퀀스를 통한 관측된 상승 현상을 힌트적으로 설명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bergeron–Venkatesh 추측이 예측한 바와 같이, 비 코컴팩트 산술군의 코homology에서 토판이 지수적으로 성장하는가, 특히 열악도-1 군에서?
• RQ2 계산된 데이터에서 예측된 점근적 한계로의 수렴이 소수 수준 가족보다 훨씬 느린 이유는 무엇인가?
• RQ3 GL₃와 GL₄의 코homology 군 간에 관측된 이국적인 토판의 전이, 예를 들어 H₃(GL₄)에서 11⁴와 H₂(GL₃)에서 11²의 출현은 무엇으로 설명될 수 있는가?
• RQ4 관측된 Eisenstein 유사 상승 현상은 Borel–Serre 경계에서 위상수학적 메커니즘으로 설명될 수 있는가, 만약 그렇다면 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ5 열악도가 1을 초월하는 군에서 토판 성장은 어떻게 행동하는가, 그리고 지수적 또는 다항식 패턴을 따르는가?

주요 결과

• GL₃(ℤ)에서 수준 114에서 H₂(Γₖ; ℒ)의 토판은 2⁵·3³·11²이며, GL₄(ℤ)에서 같은 수준에서 H₃(Γₖ; ℒ)의 토판은 2¹²·3⁷·11⁴로, 이는 Eisenstein 상승과 일치하는 제곱 비율을 보여준다.
• 수준 118에서 GL₄(ℤ)는 토판 2¹⁴·17⁴를 보이고, GL₃(ℤ)는 17²를 보이며, 다시 한번 제곱 성장 패턴을 보여 이론적 Eisenstein 현상의 징후를 시사한다.
• 수준 119에서 GL₄(ℤ)는 토판 2⁴·3³·31⁴를 보이고, GL₃(ℤ)는 2²·3¹·31²를 보이며, 이는 Eisenstein 상승 메커니즘을 더욱 강력히 지지한다.
• GL₃(ℤ) 및 GL₄(ℤ)와 같은 열악도-1 군에서 계산된 토판 성장은 Bergeron–Venkatesh 추측이 예측한 점근적 한계와 뛰어난 정량적 일치를 보였다.
• 우도 범위의 최상위 코homological 차원에서의 이국적 토판은 열악도-1 군에서 지수적으로 성장하며, 추측과 일치한다.
• 예측된 점근적 한계로의 수렴은 소수 수준 가족보다 훨씬 느리게 나타나 수준에 따라 수렴 행동이 다름을 시사한다.