[논문 리뷰] On the growth rate of 1324-avoiding permutations

Andrew Conway, A J Guttmann|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 1324-avoiding 순열의 생성함수에 대해 다섯 개의 추가 항을 계산하는 개선된 알고리즘을 제시하며, 그들의 증가율이 비대수적 특이성 구조를 따르는 강력한 수치적 증거를 제공한다. 이는 $ B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ 형태이며, $ \mu \approx 11.60 \pm 0.01 $, $ \sigma = 1/2 $, $ \mu_1 \approx 0.0398 \pm 0.0010 $, $ g \approx -1.1 \pm 0.2 $, $ B \approx 9.5 \pm 1.0 $이다. 이 결과는 이러한 순열 클래스가 대수적 생성함수를 가진다는 가정을 도전한다.

ABSTRACT

We give an improved algorithm for counting the number of $1324$-avoiding permutations, resulting in 5 further terms of the generating function. We analyse the known coefficients and find compelling evidence that unlike other classical length-4 pattern-avoiding permutations, the generating function in this case does not have an algebraic singularity. Rather, the number of 1324-avoiding permutations of length $n$ behaves as $$B\cdot μ^n \cdot μ_1^{n^σ} \cdot n^g.$$ We estimate $μ=11.60 \pm 0.01,$ $σ=1/2,$ $μ_1 = 0.0398 \pm 0.0010,$ $g = -1.1 \pm 0.2$ and $B =9.5 \pm 1.0.$

연구 동기 및 목표

• 개선된 알고리즘을 사용하여 1324-avoiding 순열의 알려진 수열에 다섯 개의 추가 항을 추가로 계산하는 것.
• 1324-avoiding 순열의 생성함수 계수들의 渐近적 증가 행동을 분석하는 것.
• 기존의 다른 고전적 4패턴 회피 순열들이 가지는 대수적 형태와 다름없이 비대수적 특이성 구조를 가진다는 가설을 시험하는 것.
• asymptotic 형식 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ 에서의 임계 매개변수 $ \mu $, $ \sigma $, $ \mu_1 $, $ g $, $ B $ 를 추정하는 것.

제안 방법

• 1324-avoiding 순열의 생성함수 계수 다섯 개를 계산하기 위해 Johansson-Nakamura (JN) 알고리즘의 개선된 버전을 사용한다.
• 두 번째 및 세 번째 차수의 미분 근사자(Differential Approximants, DAs)를 사용하여 변환된 급수를 분석하여 수렴 반경과 임계 지수를 추정한다.
• 비율의 근사값을 바탕으로 성장 상수 $ \mu $ 를 외삽하기 위해 Bulirsch-Stoer 알고리즘을 적용하며, 여기서 $ w = 1 $ 이다.
• asymptotic 형식 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ 를 가정하며 $ \sigma = 1/2 $ 로 설정하고, $ b_n / (\mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g) $ 를 $ 1/n $ 에 대해 외삽하여 진폭 $ B $ 를 추정한다.
• 미분 근사자와 비율 외삽의 결과를 통합하여 $ \mu $, $ \mu_1 $, $ g $, $ B $ 의 추정치를 정교화하며, 수렴 경향에서 유도된 신뢰구간을 제공한다.
• 이 연구는 계수 수열의 수치적 증거와 외삽 방법의 수렴 패턴에 기반하며, $ \sigma = 1/2 $ 를 가정하는 작업 가설로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1324-avoiding 순열의 생성함수는 다른 고전적 4패턴 회피 순열들이 보이는 대수적 특이성과 다름없는 비대수적 특이성 구조를 가지는가?
• RQ2 길이 $ n $ 인 1324-avoiding 순열의 수의 정확한 渐近적 성장 형태는 무엇이며, $ \mu_1^{n^{1/2}} $ 형태의 보조 항이 포함되는가?
• RQ3 1324-avoiding 순열의 성장 상수 $ \mu $ 는 이전의 추정치보다 더 정확하게 추정될 수 있으며, 다양한 수치적 방법 간 일관성이 있는가?
• RQ4 asymptotic 표현 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ 에서 임계 매개변수 $ \mu $, $ \mu_1 $, $ \sigma $, $ g $, $ B $ 의 추정치는 무엇인가?
• RQ5 다양한 외삽 기법, 예를 들어 미분 근사자와 Bulirsch-Stoer 외삽 기법 간에 관찰된 渐近적 행동이 탄탄한가?

주요 결과

• 개선된 알고리즘이 성공적으로 1324-avoiding 순열의 생성함수에 대해 다섯 개의 추가 계수를 계산하여 알려진 수열을 연장하였다.
• 수치적 증거는 비대수적 특이성 구조를 강력히 지지하며, asymptotic 형식 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ 를 따르며, 이때 $ \sigma = 1/2 $ 이라고 가정한다.
• 성장 상수는 $ \mu = 11.60 \pm 0.01 $ 으로 추정되었으며, 이는 미분 근사자와 Bulirsch-Stoer 외삽의 수렴성에 기반한다.
• 보조 항은 $ \mu_1 = 0.0398 \pm 0.0010 $ 으로 추정되어 특이성 구조에서 능선 지수 감소를 나타낸다.
• 임계 지수는 $ g = -1.1 \pm 0.2 $ 로 추정되어 유리수나 단순 거듭제곱 법칙이 아닌 비유리적 비선형 행동을 나타낸다.
• 진폭은 $ B = 9.5 \pm 1.0 $ 으로 추정되었으며, 이는 $ 1/n $ 에 대해 정규화된 계수의 외삽에서 유도된 신뢰를 바탕으로 한다.