[논문 리뷰] On the growth rate of tunnel number of knots

Tsuyoshi Kobayashi, Yo’av Rieck|ArXiv.org|2004. 02. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 3차원 다양체의 Heegaard 계수와 그 내부의 링크들에 대한 터널 수의 渐近적 성장률 사이의 정확한 관계를 규명한다. 성장률이 1보다 작을 때이고 그때에만, 즉 링크 외부의 Heegaard 계수보다 링크를 포함하는 다양체의 Heegaard 계수가 엄격히 작을 때 성립함을 증명함으로써, S³ 내의 비자명한 링크들이 절대적으로 渐近적 초가역성이 아니며, Morimoto의 터널 수의 가역성에 대한 추측을 반증할 수 있는 기준을 제공한다.

ABSTRACT

Given a knot $K$ in a closed orientable manifold $M$ we define the growth rate of the tunnel number of $K$ to be $gr_t(K) = \limsup_{n o \infty} \frac{t(nK) - n t(K)}{n-1}$. As our main result we prove that the Heegaard genus of $M$ is strictly less than the Heegaard genus of the knot exterior if and only if the growth rate is less than 1. In particular this shows that a non-trivial knot in $S^3$ is never asymptotically super additive. The main result gives conditions that imply falsehood of Morimoto's Conjecture.

연구 동기 및 목표

• 반복된 연결 합 연산에 따른 링크의 터널 수의 渐近적 행동을 이해하기 위해.
• 터널 수가 부분가역적으로, 가역적으로 또는 초가역적으로 성장하는 조건을 규명하기 위해.
• 성장률 불변량을 이용하여 Morimoto의 터널 수 가역성에 대한 추측을 반증할 수 있는 기준을 제공하기 위해.
• 특히 Heegaard 계수와 수평 최소성과의 관계에서 성장률이 1보다 엄격히 작은 링크를 특성화하기 위해.

제안 방법

• 연결 합에 대한 터널 수의 성장률을 $ gr_t(K) = \limsup_{m\to\infty} \frac{t(mK) - m t(K)}{m-1} $ 로 정의하고, 그 행동을 분석한다.
• Heegaard 분할과 최소 계수 표면을 사용하여 터널 수를 다양체의 Heegaard 계수와 링크 외부의 Heegaard 계수와 연결한다.
• Haken의 연결 합에 대한 Heegaard 계수의 가역성 및 수평 표면의 성질과 같은 3차원 다양체 위상수학의 결과를 적용한다.
• 기본 수평선과 수평적으로 작은 링크의 존재를 활용하여 성장률의 상한을 도출한다.
• Dehn 위상수술과 호위상 변형을 사용하여 제어 가능한 성장률을 갖는 링크의 무한한 가닥을 구성한다.
• 성립함을 증명한다: $ gr_t(K) = 1 $ if and only if $ g(M) = g(E(K)) $, 즉 링크가 최소 계수 분할에서 핸들바디의 핵심일 때.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 터널 수가 어떤 조건에서 링크에 대해 渐近적 부분가역성이 되는가?
• RQ2 터널 수의 성장률이 Morimoto의 터널 수 가역성에 대한 추측을 반증하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 환경 다양체의 Heegaard 계수와 링크의 터널 수 성장률 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 어떤 링크들에 대해 성장률이 1보다 엄격히 작은가? 그리고 이를 유도하는 위상수학적 조건은 무엇인가?
• RQ5 링크의 다리 지수는 그 터널 수 성장률과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 성장률 $ gr_t(K) < 1 $ 이다. 만약이고 그때에만, 환경 다양체 $ M $ 의 Heegaard 계수가 링크 외부 $ E(K) $ 의 Heegaard 계수보다 엄격히 작을 때.
• S³ 내의 임의의 비자명한 링크에 대해 성장률은 1보다 엄격히 작다. 따라서 이러한 링크들은 절대적으로 渐近적 초가역성이 아니다.
• 만약 $ g(M) = g(E(K)) $ 이면, $ t(nK) = n t(K) + (n-1) $ 이므로 $ gr_t(K) = 1 $ 이고, 이 경우 극한이 존재한다.
• S³ 내의 토러스 링크에 대해서는 성장률이 정확히 0이며, 이는 수평적으로 작은 링크이자 $ t(nK) \geq n t(K) $ 를 만족하기 때문이다.
• 성장률이 $ gr_t(K) = 0 $ 인 무한한 링크의 가닥이 존재한다. 이는 최소 계수 Heegaard 표면에 포함된 링크에 대한 Dehn 위상수술을 통해 구성된다.
• 예로서 $ K_m = K(7,17;10m-4) $ 링크들은 $ gr_t(K_m) \leq \frac{1}{2} $ 를 만족하며, 이들은 (1,2)-링크이므로 Morimoto의 추측에 대한 반례를 제공한다.