[논문 리뷰] On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors

John Asplund, David C. Kamin외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 15.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프 Kᵥ에서 삼각형 인자(C₃)와 C₃ₓ-인자에 대해 하밀턴-워터루 문제를 해결하며, v = 3xy이고 x ≥ 2일 때 홀수 v에 대해 거의 모든 경우를 확립한다. 이는 해수분해 가능한 군 가수 디자인과 등분할 인자 분해를 사용한 일반적인 재귀적 구성법을 제공하여, s=1이거나 특정 작은 y 및 x 값일 때 유한한 예외 값을 제외하고 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The Hamilton-Waterloo Problem (HWP) in the case of $C_{m}$-factors and $C_{n}$-factors asks if $K_v$, where $v$ is odd (or $K_v-F$, where $F$ is a 1-factor and $v$ is even), can be decomposed into r copies of a 2-factor made either entirely of $m$-cycles and $s$ copies of a 2-factor made entirely of $n$-cycles. In this paper, we give some general constructions for such decompositions and apply them to the case where $m=3$ and $n=3x$. We settle the problem for odd $v$, except for a finite number of $x$ values. When $v$ is even, we make significant progress on the problem, although open cases are left. In particular, the difficult case of $v$ even and $s=1$ is left open for many situations.

연구 동기 및 목표

• v = 3xy이고 x ≥ 2일 때, 완전 그래프 Kᵥ에서 삼각형 인자(C₃)와 C₃ₓ-인자에 대해 하밀턴-워터루 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 균일한 사이클 분해 결과를 일반화하여 하미льт론 사이클에서 C₃ₓ-인자로 확장하기 위해.
• 더 큰 v에 대해 더 작은 그래프로부터 해결책을 구성하기 위해, 해수분해 가능한 군 가수 디자인(RGDDs)과 등분할 인자 분해를 사용한 재귀적 구성법을 개발하기 위해.
• 특히 s=1일 때, (3,3x)–HWP(v;r,s) 문제에 대해 유한한 예외를 제외한 모든 경우를 식별하고 해결하기 위해.

제안 방법

• 해수분해 가능한 3-RGDDs를 사용하여 유형 h^u로 구성함으로써 Kᵥ를 C₃ 및 C₃ₓ-인자로 분해한다.
• 작은 그래프(예: K₁₂, K₂₄)에서의 분해를 평행 클래스의 합을 통해 더 큰 그래프로 조합하기 위해 레마 14 및 레마 15를 적용한다.
• 정리 3을 사용하여 완전한 등분할 그래프 K_(h:u)에서 Cₘ-인자 분해를 확립함으로써, K_(3xy)를 C₃ 및 C₃ₓ-인자로 분해할 수 있도록 한다.
• v ≡ 0 mod m일 때 Kᵥ에서 Cₘ-인자 분해를 확립하기 위해 정리 2를 활용함으로써 재귀적 구성의 기초 사례를 보장한다.
• 레마 16을 적용하여 등분할 그래프의 부분들 사이에서 C₃ 및 C₁₂-인자를 조합함으로써 K₁₂에서 K₂₄ 및 K₄₈로 해결책을 승격시킨다.
• 필수 조건을 정리 1의 결과를 사용하여 체계적으로 검증함으로써, 홀수 v일 경우 r+s = (v−1)/2, 짝수 v일 경우 r+s = (v−2)/2임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 v = 3xy가 홀수이고 s > 0일 때, 어떤 x와 y 값에 대해 (3,3x)–HWP(3xy;r,s)가 존재하는가?
• RQ2 해수분해 가능한 군 가수 디자인과 등분할 인자 분해를 사용한 재귀적 구성법이 s=1일 때, (3,3x)–HWP를 거의 모든 경우에 대해 해결할 수 있는가?
• RQ3 특히 s=1이고 v가 짝수일 때, (3,3x)–HWP(3xy;r,s)가 해결되지 않는 정확한 예외 값 x와 y는 무엇인가?
• RQ4 K_(h:u)의 부분들 사이에서 C₃ 및 C₃ₓ-인자 분해를 어떻게 조합하여 더 큰 v에 대한 해결책을 구성할 수 있는가?
• RQ5 x와 y에 어떤 조건이 성립하면, (3,12)–HWP(12y;r,s)의 경우 모든 s ∈ {0,1,…,6y−1}이 실현 가능한가?

주요 결과

• 논문은 s=1일 때 유한한 예외 값을 제외하고, x ≥ 2이고 홀수 v = 3xy인 모든 경우에 대해 (3,3x)–HWP(3xy;r,s)를 해결한다.
• 짝수 v = 3xy일 경우, s=1이고 x ∈ {3,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,69,71,79,83}이거나 x와 y에 특정 모듈로 조건이 성립할 때를 제외하고 문제는 해결된다.
• s=1일 경우, y ≥ 3이고 x가 홀수이거나, x ≡ 2 mod 12이고 x ≥ 6일 때 많은 x에 대해 문제가 열려 있다.
• y ≥ 5 또는 y=3일 경우, (3,12)–HWP(12y;r,s)는 {0,1,…,6y−1}의 모든 s에 대해 존재하며, 소수의 작은 예외를 제외한다.
• 논문은 3-RGDDs와 K₁₂에서의 기본 해결책을 사용하여, 모든 s ∈ {1,2,…,3y−1} 및 s=0에 대해 (3,6)–HWP(6y;r,s)에 대한 명시적 구성법을 제공한다.
• 정리 3를 통해 K_(h:u)에서 C₃ 및 C₃ₓ-인자 분해의 존재성은 등분할 분해 기법을 통해 더 큰 그래프의 해결책을 구성할 수 있도록 한다.