[논문 리뷰] On the Hardness and Inapproximability of Recognizing Wheeler Graphs

Daniel Gibney, Sharma V. Thankachan|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 웨일러 그래프를 식별하는 데 있어 계산적 비가역성을 입증하며, 간선 레이블 알파벳 크기 σ ≥ 2인 경우, 심지어 DAG일지라도 식별 문제가 NP-완전하다고 보여준다. 또한 최적화 변형인 웨일러 그래프 위반(WGV)과 웨일러 서브그래프(WS)는 각각 APX-하드이자 APX에 속함을 보이며, 효율적인 근사화의 근본적인 한계를 시사한다. 이 작업은 그래프 이sov머피즘에 기반한 지수시간 정확 알고리즘을 제안하며, 다항시간으로 해결 가능한 부분집합을 특정하여 구조적 매개변수의 트랙타빌리티 내에서의 역할을 강조한다.

ABSTRACT

In recent years several compressed indexes based on variants of the Burrows-Wheeler transformation have been introduced. Some of these are used to index structures far more complex than a single string, as was originally done with the FM-index [Ferragina and Manzini, J. ACM 2005]. As such, there has been an increasing effort to better understand under which conditions such an indexing scheme is possible. This has led to the introduction of Wheeler graphs [Gagie et al., Theor. Comput. Sci., 2017]. Gagie et al. showed that de Bruijn graphs, generalized compressed suffix arrays, and several other BWT related structures can be represented as Wheeler graphs, and that Wheeler graphs can be indexed in a way which is space efficient. Hence, being able to recognize whether a given graph is a Wheeler graph, or being able to approximate a given graph by a Wheeler graph, could have numerous applications in indexing. Here we resolve the open question of whether there exists an efficient algorithm for recognizing if a given graph is a Wheeler graph. We present: - The problem of recognizing whether a given graph G=(V,E) is a Wheeler graph is NP-complete for any edge label alphabet of size sigma >= 2, even when G is a DAG. This holds even on a restricted, subset of graphs called d-NFA’s for d >= 5. This is in contrast to recent results demonstrating the problem can be solved in polynomial time for d-NFA’s where d <= 2. We also show the recognition problem can be solved in linear time for sigma =1; - There exists an 2^{e log sigma + O(n + e)} time exact algorithm where n = |V| and e = |E|. This algorithm relies on graph isomorphism being computable in strictly sub-exponential time; - We define an optimization variant of the problem called Wheeler Graph Violation, abbreviated WGV, where the aim is to remove the minimum number of edges in order to obtain a Wheeler graph. We show WGV is APX-hard, even when G is a DAG, implying there exists a constant C >= 1 for which there is no C-approximation algorithm (unless P = NP). Also, conditioned on the Unique Games Conjecture, for all C >= 1, it is NP-hard to find a C-approximation; - We define the Wheeler Subgraph problem, abbreviated WS, where the aim is to find the largest subgraph which is a Wheeler Graph (the dual of the WGV). In contrast to WGV, we prove that the WS problem is in APX for sigma=O(1); The above findings suggest that most problems under this theme are computationally difficult. However, we identify a class of graphs for which the recognition problem is polynomial time solvable, raising the open question of which parameters determine this problem’s difficulty.

연구 동기 및 목표

• 주어진 방향성 간선 레이블 그래프가 웨일러 그래프인지 식별하는 데 있어 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 최적화 변형의 근사 가능성 분석: 웨일러 그래프를 얻기 위해 제거해야 할 간선 수를 최소화하는 문제(WGV)와 웨일러 서브그래프의 크기를 최대화하는 문제(WS).
• 웨일러 그래프를 다항시간에 식별할 수 있도록 하는 구조적 매개변수 규명.
• 그래프 이sov머피즘을 활용한 인식 및 최적화 문제에 대한 정확한 지수시간 알고리즘 개발.

제안 방법

• 피드백 간선 세트(FAS) 문제로부터의 축소를 통한 웨일러 그래프 인식의 NP-완전성 증명: FAS 인스턴스로부터 간선 레이블과 정점 순서를 갖는 그래프를 구성하며, FAS 인스턴스가 만족 가능할 때뿐이 웨일러 공리에 부합함을 보임.
• WGV가 APX-하드임을 FAS로부터의 축소를 통해 입증: P = NP가 아닐 경우, 상수 요인 근사화가 존재하지 않음을 보이며, 유일한 게임 추측을 가정하면 상수 근사화조차 어려움.
• σ가 상수일 경우 WS가 APX에 속한다는 것을 보이며, 소스와 나무형 구조의 분기 및 평면 레벨링 기반 선형시간 Ω(1/σ)-근사 알고리즘을 제안.
• 모든 가능한 웨일러 그래프 인코딩을 n, e, σ와 동일한 값으로 나열하고, 입력 그래프와의 이sov머피즘 검사를 통해 정확한 지수시간 알고리즘을 개발.
• 웨일러 그래프의 공간 효율적 인코딩은 제한된 검색 공간을 암시하며, 그래프 이sov머피즘이 지수시간 이하로 해결 가능할 경우, 이sov머피즘 검사를 통해 하위지수 시간 복잡도를 유지함을 이용.
• 큐 수와 웨일러 그래프 간의 관계를 활용하여, σ = 1일 경우 웨일러 그래프 인식이 선형 시간에 해결 가능함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 σ ≥ 2일 때 주어진 그래프가 웨일러 그래프인지 식별하는 문제가 NP-완전한가?
• RQ2 d ≥ 5인 d-NFA와 같은 제한된 그래프 클래스에 대해서는 웨일러 그래프 인식 문제가 다항시간에 해결 가능한가?
• RQ3 웨일러 그래프 위반(WGV) 문제에 대해 상수 요인 근사 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 σ가 상수일 경우 웨일러 서브그래프(WS) 문제가 APX에 속하는가?
• RQ5 웨일러 그래프 인식 또는 그 최적화 변형에 대해 고정 매개변수 트랙타빌리티 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 웨일러 그래프 인식 문제의 경우, 간선 레이블 알파벳 크기 σ ≥ 2이면 NP-완전하며, 입력 그래프가 DAG일지라도 마찬가지로 성립함.
• 웨일러 그래프를 얻기 위해 간선 제거 수를 최소화하는 최적화 문제인 WGV는 APX-하드이며, 이는 P = NP가 아닐 경우 상수 요인 근사화가 존재하지 않음을 의미함.
• 유일한 게임 추측을 가정할 경우, WGV에 대해 어떤 C ≥ 1에 대해서도 C-근사화를 찾는 것은 NP-난이도임.
• 역행 문제인 WS—가장 큰 웨일러 서브그래프를 찾는 문제—는 σ가 상수일 경우 APX에 속하며, 선형 시간 Ω(1/σ)-근사 알고리즘을 제공함.
• σ = 1일 경우 웨일러 그래프 인식은 선형 시간에 해결 가능함. 이는 간선 레이블 충돌이 없기 때문에 위상 정렬로 환원되기 때문임.
• 인식, WGV, WS에 대한 지수시간 정확 알고리즘은 2^{e log σ + O(n+e)} 시간에 실행되며, 후보 인코딩의 정합성을 검증하기 위해 그래프 이sov머피즘 검사를 활용함.