[논문 리뷰] On the Heegaard Floer homology of a surface times a circle

Stanislav Jabuka, Thomas E. Mark|arXiv (Cornell University)|2005. 02. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $g \geq 3$인 경우 3차원 다중체 $\Sigma_g \times S^1$의 히가르드 플로어 호몰로지 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$를 계산하며, $c_1 = 0$인 스피너$^c$ 구조에 초점을 맞춘다. 심플렉틱 기하학과 $\mathfrak{sl}_2$의 표현 이론을 사용하여, 이 호몰로지가 비자명한 2-torsion을 포함하며, 이는 $\mathbb{Z}$ 계수 히가르드 플로어 호몰로지에서 처음으로 알려진 예시임을 보이며, $HF^\infty$가 $\Sigma_g$의 자코비안 토러스 위의 원판 뭉치의 코homology와 관련이 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We make a detailed study of the Heegaard Floer homology of the product of a closed surface Sigma_g of genus g with S^1. We determine HF^+ for this 3-manifold completely for the spin^c structure having trivial first Chern class, which for g>2 was previously unknown. We show that in this case HF^\infty is closely related to the cohomology of the total space of a certain circle bundle over the Jacobian torus of Sigma_g, and furthermore that HF^+ of a surface times a circle with integral coefficients contains nontrivial 2-torsion whenever g>2. This is the first example known to the authors of torsion in Heegaard Floer homology with integral coefficients. Our methods also give new information on the action of H_1 of a surface times the circle on HF^+ of the same with spin^c-structures with nonzero first Chern class.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려지지 않았던 $g \geq 3$ 및 $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$인 경우 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0\right)$의 히가르드 플로어 호몰로지 계산.
• 계수 $\mathbb{Z}$인 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$의 구조를 규명하고, 이와 $\Sigma_g$의 자코비안 토러스 위의 원판 뭉치의 코homology 사이의 관계를 밝힘.
• $g \geq 3$인 경우 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$에 비자명한 2-torsion이 존재함을 증명하고, 이는 $\mathbb{Z}$ 계수 히가르드 플로어 호몰로지에서 첫 번째 예시임을 확인함.
• $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$인 경우 $H_1(\Sigma_g \times S^1)$의 작용이 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$에 어떻게 영향을 미치는지 분석함.

제안 방법

• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g; \mathbb{Z})$를 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-표현으로 분해하여, 히가르드 플로어 복합체의 미분 작용을 분석함.
• $\tilde{\star}$ 히오그드-레프슈츠 연산자와 $1 - e^{-\omega U}$에 의한 수축을 적용하여, $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$에서 $1 - e^{-\omega}$에 의한 수축의 코어널을 통해 $HF^\infty$를 계산함.
• $HF^+$와 $\widehat{HF}$를 연결하기 위해 수술 정삼각형과 $F^+$ 사상 사용; $\mathbb{Z}[U]$-모듈러의 부분복합체로의 사영 $\pi_C$를 활용함.
• 복잡한 표현 이론을 피하기 위해 $\mathbb{Z}_2$ 계수를 사용하여, $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$임을 보임.
• $c_1$이 $[pt \times S^1]$의 배수가 아닐 경우 비자명한 $HF^+$가 존재하지 않음을 보장하기 위해 조정 부등식을 활용하여 문제를 유한한 경우로 축소함.
• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$에서 $1 - e^{-\omega}$에 의한 수축의 코어널을 계산하고, 이 것이 $HF^\infty$를 지배하며, $g \leq 7$일 경우 이 코어널이 $H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$와 동형임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약 $g \geq 3$ 및 $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$인 경우 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$에 비자명한 2-torsion이 존재하는가? 만약 그렇다면, 그 의미는 무엇인가?
• RQ3 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$는 $\Sigma_g$의 자코비안 토러스 위의 원판 뭉치의 코homology와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$인 경우 $H_1(\Sigma_g \times S^1)$의 작용이 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 $g > 2$일 경우 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$의 랭크가 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$보다 큰 이유는 무엇인가?

주요 결과

• $g \geq 3$인 경우, $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$는 비자명한 2-torsion을 포함하며, 이는 $\mathbb{Z}$ 계수 히가르드 플로어 호몰로지에서 처음으로 알려진 예시이다.
• $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$의 임의의 고정된 차수에서의 랭크는 $2^{2g-1} + 2^{g-1}$이며, 이는 $g > 2$일 경우 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$의 랭크인 $\binom{2g+1}{g}$를 초과한다.
• $g \leq 7$일 경우, $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right) \cong H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$로, 적절한 그레이딩 이동 후에 성립하며, 여기서 $E_g$는 $\Sigma_g$의 자코비안 토러스 위의 $S^1$-뭉치이다.
• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$에서 $1 - e^{-\omega}$에 의한 수축의 코어널은 $HF^\infty$를 지배하며, 이 코어널은 $g \leq 7$일 경우 $H^*(E_g; \mathbb{Z})$와 동형이다.
• $\mathbb{Z}_2$ 계수에서의 수술 정삼각형의 $F^+$ 사상은 행렬 $\begin{bmatrix} 1 & \tilde{\star} \\ \tilde{\star} & 1 \end{bmatrix}$로 표현되며, 이의 핵과 코어널은 각각 $\Lambda^p H^1(\Sigma_g)$와 동형이며, 차원은 $\binom{2g}{p}$이다.
• $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$의 감소된 플로어 호몰로지는 자명하며, $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$로 동형이다.