[논문 리뷰] On the higher derivatives of Z(t) associated with the Riemann Zeta-Function

Kaneaki Matsuoka|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 10.

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한 줄 요약

이 논문은 리만 가설을 전제로 할 때, 임의의 양의 정수 $ n $ 에 대해 충분히 큰 $ t $ 에서 $ Z^{(n+1)}(t) $ 가 $ Z^{(n)}(t) $ 의 연속된 두 영점 사이에 정확히 하나의 영점을 가진다는 것을 증명한다. 증명은 메로모르픽 함수 $ g_n(s) $ 를 구성하고, 윤곽선 적분과 역학 원리를 통해 그 영점과 극점을 분석하며, 리만-시겔 $ Z(t) $ 함수와 그 도함수의 성질을 활용한다.

ABSTRACT

Let $Z(t)$ be the classical Hardy function in the theory of the Riemann zeta-function. The main result in this paper is that if the Riemann hypothesis is true then for any positive integer $n$ there exists a $t_{n}>0$ such that for $t>t_{n}$ the function $Z^{(n+1)}(t)$ has exactly one zero between consecutive zeros of $Z^{(n)}(t)$.

연구 동기 및 목표

• 리만-시겔 함수 $ Z(t) $ 의 고차 도함수의 연속된 영점 사이에 정확한 교차 성질을 확립한다.
• $ Z'(t) $ 와 $ Z''(t) $ 에 대한 이전 결과를 임의의 고차 도함수 $ Z^{(n)}(t) $ 로 확장한다.
• 앤더슨의 $ \eta(s) $ 와 유사한 성질을 지닌 새로운 함수 $ g_n(s) $ 를 개발하여 $ Z(t) $ 의 도함수 구조를 분석할 수 있도록 한다.
• 리만 가설을 전제로 할 때, 충분히 큰 $ t $ 에서 $ Z^{(n+1)}(t) $ 가 $ Z^{(n)}(t) $ 의 연속된 두 영점 사이에 정확히 하나의 영점을 가진다는 것을 증명한다.

제안 방법

• $ f_0(s) = \zeta(s) $ 로 시작하여 $ f_{n+1}(s) = f_n'(s) - \frac{1}{2}\omega(s)f_n(s) $ 를 재귀적으로 정의함으로써 $ f_n(s) $ 를 정의한다.
• 동일한 재귀식을 통해 $ h_n(s) $ 를 정의하고, $ g_n(s) = f_n(s)/h_n(s) $ 를 정의하며, 이는 $ Z^{(n)}(t) = i^n f_n(1/2+it)e^{i\theta(t)} $ 를 통해 $ Z(t) $ 의 $ n $ 차 도함수와 관련된다.
• 함수방정식 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $ 를 이용하여 $ f_n(s) $ 와 $ g_n(s) $ 의 대칭성 성질을 도출한다.
• $ g_n(s) $ 로부터 유도된 함수 $ G_n(w) $ 에 대해 역학 원리와 윤곽선 적분을 적용하여 임계대에서의 영점과 극점의 수를 세는 데 사용한다.
• 잔여물 이론과 점근 전개를 이용하여 임계선에서 로그 도함수 $ \frac{G_n'}{G_n}(s) $ 의 추정을 수행하여, 영점과 극점에 대한 합을 포함하는 표현을 도출한다.
• 핵심 미분부등식 $ \frac{d}{dt}\left(\frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)}\right) < 0 $ 를 유도하여, 큰 $ t $ 에서 영점이 엄격히 교차함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설을 전제로 할 때, 모든 $ n \geq 1 $ 에 대해 $ Z^{(n)}(t) $ 와 $ Z^{(n+1)}(t) $ 의 연속된 영점 사이에 교차 성질이 성립하는가?
• RQ2 임계선 상에서 $ g_n(s) $ 의 영점이 $ Z^{(n)}(t) $ 의 영점과 대응되는 메로모르픽 함수 $ g_n(s) $ 를 구성할 수 있는가? 그리고 이 함수가 만족하는 함수방정식은 무엇인가?
• RQ3 임계선 상에서 $ g_n(s) $ 의 로그 도함수의 점근적 행동은 무엇이며, 이는 비율 $ Z^{(n+1)}(t)/Z^{(n)}(t) $ 를 어떻게 제어하는가?
• RQ4 $ G_n(w) $, $ g_n(s) $ 의 변형된 형태의 극점과 영점은 $ Z^{(n)}(t) $ 의 영점 분포에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임의의 양의 정수 $ n $ 에 대해, 리만 가설을 전제로 할 때 충분히 큰 $ t > t_n $ 에서 $ Z^{(n+1)}(t) $ 가 $ Z^{(n)}(t) $ 의 연속된 두 영점 사이에 정확히 하나의 영점을 가진다.
• $ g_n(s) $ 는 $ f_n(s)/h_n(s) $ 로 정의되며, 함수방정식 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $ 를 만족하고, 임계선 상의 영점은 $ Z^{(n)}(t) $ 의 영점과 대응된다.
• $ \frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) $ 의 로그 도함수는 $ i\frac{d}{dt}\frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) = O(|t|^{-1}) - \sum_{\gamma} \frac{1}{(t - \gamma)^2} $ 를 만족하며, 여기서 $ \gamma $ 는 임계선 상의 $ G_n(w) $ 의 영점이다.
• 비율 $ \frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)} $ 의 도함수는 큰 $ t $ 에서 음수이며, 이는 $ Z^{(n)}(t) $ 와 $ Z^{(n+1)}(t) $ 의 영점이 엄격히 교차함을 의미한다.
• $ h_n(s) $ 와 그 도함수의 점근적 분석를 통해 $ h_n(s) = \frac{(\log|t|)^n}{2^n} + O((\log|t|)^{n-1}) $ 와 $ \frac{h_n'}{h_n}(1/2+it) = O((|t|\log|t|)^{-1}) $ 를 도출하여 오차 항 제어에 기여한다.