[논문 리뷰] On the Hodge theory of stratified spaces

Pierre Albin|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 45인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 반복적인 블로우업을 통해 분할된 가짜다양체로 분해함으로써 호지 이론을 분할된 가짜다양체로 확장한다. 이는 펄스성의 일반화를 통해 미드포버시티로 확장하고, 체거 공간에서 노빅로 추측을 분석적으로 증명한다. 또한 재구성된 보르-세르 컴actsification이 다각형을 가진 다양체와 반복적인 피브레이션 구조로 분해됨을 보이며, 특이 공간에서의 분석적 인덱스 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This article is a survey of recent work of the author, together with Markus Banagl, Eric Leichtnam, Rafe Mazzeo, and Paolo Piazza, on the Hodge theory of stratified spaces. We discuss how to resolve a Thom-Mather stratified space to a manifold with corners with an iterated fibration structure and the generalization of a perversity in the sense of Goresky-MacPherson to a mezzoperversity. We define Cheeger spaces and their signatures and describe how to carry out the analytic proof of the Novikov conjecture on these spaces. Finally we review the reductive Borel-Serre compactification of a locally symmetric space to a stratified space and describe its resolution to a manifold with corners.

연구 동기 및 목표

• 모서리 특이점에서의 케이저의 $L^2$-호지 이론을 일반적인 분할된 가짜다양체로 일반화하기 위해.
• 분석적 응용을 위해 교차 호몰로지의 펄스성 개념을 미드포버시티로 확장하기 위해.
• $C^*$-대수 번들의 사용과 인덱스 이론을 통해 체거 공간에서 노빅로 추측을 분석적으로 증명하기 위해.
• 국소 대칭 공간의 재구성된 보르-세르 컴actsification을 다각형을 가진 다양체와 반복적인 피브레이션 구조로 해소하기 위해.
• 분석적 방법을 사용하여 특이 공간에서의 서명과 고차 서명을 연구하기 위한 프레임워크 수립하기 위해.

제안 방법

• 보르-세르 컴actsification의 총 경계 블로우업을 통해 톰-메이어 분할 공간을 다각형을 가진 다양체로 해소하기 위해.
• 체거 공간을 분할된 공간으로 정의하며, 여기서 $L^2$-코호몰로지가 잘 정의되고 푸앵카레 dualit에 만족하는 와이드 메트릭을 가짐.
• 고레스키-맥퍼슨의 펄스성 개념을 $L^2$-조화형식과 코호몰로지의 제어를 위해 미드포버시티로 일반화하기 위해.
• de Rham 연산자 $\eth_{\text{dR}}$의 최대 및 최소 정의역을 사용하여 $L^2$-de Rham 복합체를 정의함으로써 $L^2$-코호몰로지 정의하기 위해.
• 가족에 대한 아티야-식의 인덱스 정리와 $C^*$-대수 번들을 적용하여 체거 공간에서 노빅로 추측을 증명하기 위해.
• 포물형 부분군의 유리 랑랜즈 분해를 사용하여 $\Gamma\backslash\widetilde{X}$의 해소된 공간에 반복적인 피브레이션 구조를 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체거 공간의 분석적 호지 이론은 윌트 다양체를 초월하여 더 넓은 범위의 분할된 가짜다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ2 특이 공간에서의 $L^2$-코호몰로지를 제어하기 위해 펄스성 개념은 어떻게 미드포버시티로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 분석적 방법으로 $C^*$-대수 번들과 인덱스 이론을 사용하여 체거 공간에서 노빅로 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ4 국소 대칭 공간의 재구성된 보르-세르 컴actsification의 해소된 구조는 다각형을 가진 다양체로 어떻게 나타나는가?
• RQ5 해소된 공간에서의 반복적인 피브레이션 구조는 포물형 부분군의 유리 랑랜즈 분해로부터 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 해소된 보르-세르 컴actsification $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 는 다각형을 가진 다양체이며 반복적인 피브레이션 구조를 가짐.
• 국소 대칭 공간의 재구성된 보르-세르 컴actsification $\widehat{M}$ 은 비감소하는 코드미너션 순서로 피브레이션 구조의 섬유를 축소함으로써 얻어짐.
• $\widehat{M}$ 의 해소된 $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 는 보르-세르 컴actsification의 총 경계 블로우업과 동형임.
• 체거 공간은 잘 정의된 $L^2$-코호몰로지를 지니며, 푸앵카레 이중성과 미드포버시티를 가진 교차 호몰로지와 동형임.
• $C^*$-대수 번들과 아티야-식의 가족 인덱스 정리를 사용하여 체거 공간에서 노빅로 추측의 분석적 증명이 달성됨.
• $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 에서의 반복적인 피브레이션 구조는 대칭 공간 $\widetilde{X}$ 에서의 등변 피브레이션 구조를 통해 $\Psi_P$ 및 $\Psi_Q$ 에 의한 등변 피브레이션 구조를 유도함.