[논문 리뷰] On the Holomorphy of Exterior-Square L-functions

Dustin David Belt|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 전체 복소평면으로의 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$의 유리형 해석적 계속성을 확립하며, $r = \dim \pi$ 가 짝수일 경우 유일한 가능한 극점은 단순이며 $s = 1$과 $s = 0$에 위치함을 보여준다. 증명은 국소적 잭게-샤리카 적분의 유리형 계속성을 구성하고, 임의의 $s_0$에서의 비영성질을 증명함으로써 애널리틱 컨티뉴이션과 윌라크 함수 기법을 사용해 잭게와 샤리카의 방법을 절대수렴 영역을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that the twisted partial exterior-square $L$-function has a meromorphic continuation to the whole complex plane with only two possible simple poles at $s=1$ and $s=0$. We do this by establishing the nonvanishing of the local zeta integrals defined by Jacquet and Shalika for any fixed $s_0$. The even case is treated in detail. The odd case is treated briefly, in which case, the $L$-function is shown to be entire.

연구 동기 및 목표

• 비틀림 부분 외부제곱 L-함수 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$의 전체 복소평면으로의 유리형 계속성을 확립한다.
• 짝수 $r$일 경우 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$의 유일한 가능한 극점은 단순이며 $s = 1$과 $s = 0$에 위치함을 보인다.
• 잭게와 샤리카의 방법을 절대수렴 영역을 초월하여 확장하기 위해 국소적 적분의 유리형 계속성을 증명한다.
• 임의의 $s_0 \in \mathbb{C}$에서 국소적 제타 적분의 비영성질을 보여, 아이젠스타인 급수 기법을 통해 극점 탐지가 가능함을 보인다.
• 홀수 경우를 별도로 다루어 $r$ 가 홀수일 경우 $L$-함수가 전체적임을 보인다.

제안 방법

• 잭게-샤리카 제타 적분을 통한 비틀림 부분 외부제곱 L-함수의 적분 표현을 사용한다.
• 전체 적분을 $\mathrm{GL}_n(F_\nu) \times \mathrm{M}_n(F_\nu)$ 위에서 정의된 국소 적분 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$의 곱으로 표현한다.
• 참고문헌 [13]의 결과를 적용하여 모든 $s$ 에서 절대수렴하도록 보장하는 웰라커 함수 $W_\nu$ 를 선택한다.
• 국소 적분 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 를 $\mathbb{C}$ 로의 유리형 계속성을 확립하고, $h$ 에 대한 연속성 보장으로 전체 적분이 유리형임을 보장한다.
• 임의의 $s_0$ 에서 유리형 계속화된 국소 적분의 비영성질을 이용하여, 전체 $L$-함수가 $s_0 = 1$ 또는 $s_0 = 0$ 가 아닐 경우 극점을 가질 수 없음을 보인다.
• 홀수 경우는 $\Re(s) \gg 0$ 에서 적분이 절대수렴하고 국소 적분의 비영성질을 이용하여 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 가 전체적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만일 $\pi$ 가 $\mathrm{GL}_r(\mathbb{A}_F)$ 의 커퍼달 아큐멘티브 표현일 경우, 비틀림 부분 외부제곱 $L$-함수 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 의 가능한 극점 위치는 무엇인가?
• RQ2 외부제곱 $L$-함수를 정의하는 국소적 제타 적분은 절대수렴 영역을 초월해 해석적 계속성을 가질 수 있는가?
• RQ3 적분이 $s_0$ 에서 절대수렴하지 않을 경우에도, 임의의 고정된 $s_0 \in \mathbb{C}$ 에서 국소 적분의 비영성질을 확보할 수 있는가?
• RQ4 짝수와 홀수의 경우 $r = \dim \pi$ 에 따라 $L$-함수의 해석성은 어떻게 다를까?
• RQ5 잭게와 샤리카의 방법을 절반 평면의 절대수렴 영역을 초월하여 $L$-함수의 유리형 계속성을 증명하기 위해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 짝수 $r$ 일 경우, 비틀림 부분 외부제곱 $L$-함수 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 는 $\mathbb{C}$ 로의 유리형 계속성을 가지며, 최대 $s = 1$과 $s = 0$ 에서 단순 극점만 존재한다.
• 임의의 $s_0 \in \mathbb{C}$ 에서 유리형 계속화된 국소 제타 적분의 비영성질은 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 가 $s_0 = 1$ 또는 $s_0 = 0$ 가 아닐 경우 극점을 가질 수 없음을 보장한다.
• 홀수 경우 ($r = 2n+1$) 에서는 $L$-함수 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 가 전체적임을 보이며, 이는 전체 적분이 모든 $s$ 에서 절대수렴하고 국소 적분이 해석적이기 때문이다.
• 국소 적분 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 는 $\mathbb{C}$ 로의 유리형 계속성을 가지며, 임의의 $s_0$ 에 대해 $J(s_0, \chi_\nu, W_\nu) \neq 0$ 가 되는 웰라커 벡터 $W_\nu$ 가 존재한다.
• 전체 $L$-함수는 국소 인자와 고갈된 자리수에 대한 유한한 오일러乘수의 곱으로 표현되며, 임의의 $s_0$ 에서 국소 인자의 비영성질로부터 전체 해석성이 유도된다.
• 결과는 $L$-함수의 해석적 성질이 아이젠스타인 급수의 전반적 구조와 제타 적분의 비영성질에 의해 완전히 결정되며, 랑글랜즈의 유니버설성 추측과 일치함을 확인한다.