[논문 리뷰] On The Horadam Hybrid Quaternions

Ali Dağdeviren, Ferhat Kürüz|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 15.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하이브리드 허수 구조 내에서 피보나치, 루카스, 펠, 야코브스탈 수열을 일반화하는 새로운 대수적 구조인 호라담 하이브리드 허수를 소개한다. 특성 방정식 $x^2 - 2x - 1 = 0$의 근을 통해 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수에 대한 바이넷의 공식과 카시니 항등식을 유도하며, 이들의 대수적 성질과 재귀 관계를 확립한다. 주요 기여는 고전적 수열들을 닫힌 형태의 표현식과 항등식 관계를 통해 하이브리드 허수와 통합하는 데 있다.

ABSTRACT

In this paper, we define the Horadam hybrid quaternions and give some of their properties. Moreover, we investigate the relations between the Fibonacci hybrid quaternions and the Lucas hybrid quaternions which connected the Fibonacci quternions and Lucas quaternions. Furthermore, we give the Binet formulas and Cassini identities for these quaternions.

연구 동기 및 목표

• 피보나치, 루카스, 펠, 야코브스탈 수열과 같은 고전적 수열들을 하이브리드 허수 대수적 구조로 일반화하기.
• 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수를 기존 허수 체계와 연결하는 통합된 프레임워크 수립.
• 이러한 일반화된 허수에 대해 닫힌 형태의 표현식(바이넷의 공식)과 재귀 항등식(카시니의 항등식) 유도.
• 공액, 노름, 곱셈 규칙를 포함한 호라담 하이브리드 허수의 대수적 성질 탐구.
• 재귀 기반 수열을 이용해 하이브리드 수의 이론을 고차원 초복소 체계로 확장하기.

제안 방법

• 하이브리드 허수 $ H_n = w_n + w_{n+1} \mathbf{i} + w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} + w_{n+3} \mathbf{h} $로 정의하며, 여기서 $ w_n $ 은 호라담 재귀식 $ w_n = p w_{n-1} - q w_{n-2} $ 를 따른다.
• 특성 방정식 $ x^2 - px + q = 0 $의 근인 $ \alpha, \beta $ 를 사용하여 바이넷 공식 $ w_n = A\alpha^n + B\beta^n $ 을 활용해 하이브리드 허수를 닫힌 형태로 표현한다.
• 하이브리드 단위 대수 $ \mathbf{i}^2 = -1, \boldsymbol{\varepsilon}^2 = 0, \mathbf{h}^2 = 1 $ 과 혼합 곱을 기반으로 하이브리드 허수의 공액 $ \widehat{H}_n^c $ 과 노름 $ \| \widehat{H}_n \| $ 을 정의한다.
• 분배법칙과 하이브리드 단위의 곱셈 표를 사용하여 하이브리드 허수의 곱셈 규칙을 도출한다.
• 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수에 대한 바이넷 공식을 $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $ 로 유도하며, 여기서 $ \alpha^*, \beta^* $ 는 하이브리드 공액 형태이다.
• 바이넷 표현식의 대수적 변환을 통해 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수에 대한 카시니 항등식을 증명하며, $ C_1 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $ 과 $ C_2 = (-1)^n \sqrt{5} (\cdots) $ 의 형태를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호라담 수열은 어떻게 하이브리드 허수 대수에 통합되어 피보나치 및 루카스 허수를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 특성 방정식의 근을 기반으로 한 호라담 하이브리드 허수의 닫힌 형태 바이넷 표현식은 무엇인가?
• RQ3 하이브리드 허수의 대수적 성질(노름, 공액, 곱셈)은 호라담 기반 수열로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 카시니의 항등식은 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수로 일반화될 수 있으며, 그 형태는 어떠한가?
• RQ5 피보나치 하이브리드 허수와 루카스 하이브리드 허수 간의 대수적 및 재귀적 구조적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 피보나치 하이브리드 허수의 바이넷 공식은 $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $ 로 유도되며, 여기서 $ \alpha = 1 + \sqrt{2}, \beta = 1 - \sqrt{2} $ 이고 $ \alpha^*, \beta^* $ 는 하이브리드 공액 형태이다.
• 피보나치 하이브리드 허수의 카시니 항등식은 $ \widehat{F}_{n+1}\widehat{F}_{n-1} - \widehat{F}_n^2 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $ 로 표현되며, 하이브리드 단위를 포함한 특정 대수적 구조를 띤다.
• 루카스 하이브리드 허수의 경우 카시니 항등식은 $ \widehat{L}_{n+1}\widehat{L}_{n-1} - \widehat{L}_n^2 = (-1)^n \sqrt{5} (\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}) $ 로 표현되며, $ \sqrt{5} $ 로 직접 스케일링된 형태를 보인다.
• 호라담 하이브리드 허수의 노름은 $ \| H_n \| = \sqrt{H_n H_n^c} $ 로 정의되며, 공액 $ H_n^c = w_n - w_{n+1} \mathbf{i} - w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} - w_{n+3} \mathbf{h} $ 를 통해 하이브리드 대수적 구조를 유지한다.
• 두 하이브리드 허수의 곱셈은 하이브리드 단위 곱셈 표를 기반으로 한 성분별 전개를 통해 정의되며, 비가환 대수적 체계를 이룬다.
• 논문은 피보나치 및 루카스 하이브리드 허수가 각각 $ p=2, q=-1 $ 과 초기 조건 $ w_0=0,w_1=1 $ 및 $ w_0=2,w_1=1 $ 을 가진 호라담 하이브리드 허수의 특수한 경우임을 확립한다.