[논문 리뷰] On the identifiability of interaction functions in systems of interacting particles

Zhongyang Li, Fei Lu외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 27.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상호작용 입자로 이루어진 1차 확률적 시스템에서 상호작용 함수의 식별 가능성(identifiability)을 입증함으로써, 관측된 궤적에서 상호작용 포텐셜을 유일하게 복원하기 위해 강한 조건(강한 양성 조건)이 필요하고 충분함을 보였다. 이 조건은 적분 연산자의 엄격한 양성과 동치이며, 무한한 입자 수의 극한에서 필수적이다. 분석은 $ L^2 $ 공간에서 적분 커널의 엄격한 양성 정의를 확인하기 위해 Müntz 유형 정리들을 활용한다.

ABSTRACT

We address a fundamental issue in the nonparametric inference for systems of interacting particles: the identifiability of the interaction functions. We prove that the interaction functions are identifiable for a class of first-order stochastic systems, including linear systems with general initial laws and nonlinear systems with stationary distributions. We show that a coercivity condition is sufficient for identifiability and becomes necessary when the number of particles approaches infinity. The coercivity is equivalent to the strict positivity of related integral operators, which we prove by showing that their integral kernels are strictly positive definite by using Müntz type theorems.

연구 동기 및 목표

• 입자 궤적에서 비모수적 추론 시 발생하는 기본적인 식별 불가능성 문제를 해결하기 위해.
• 상호작용 함수 $\phi$가 관측 데이터로부터 어떻게 유일하게 복원될 수 있는지 조건을 설정하기 위해.
• 입자 수가 많아지는 극한에서 식별 가능성 보장에 기여하는 강한 조건의 역할을 조사하기 위해.
• 기능 해석 도구와 양성 정의 커널을 통해 식별 가능성과 적분 연산자의 엄격한 양성 조건을 연결하기 위해.
• 선형 시스템과 정적 분포를 갖는 3입자 비선형 시스템에 대해 식별 가능성의 충분 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 상호작용이 상대적 거리에 따라 결정되는 1차 확률적 경사 시스템으로 상호작용 시스템을 수식화함.
• 시간 평균 거리 분포 $\bar{\rho}_T$ 를 $L^2(\bar{\rho}_T)$ 공간에서의 추론에 적합한 측도로 도입함.
• 상호작용 함수와 관련된 적분 연산자의 단사성으로 식별 가능성 정의함.
• 강한 조건(적분 연산자의 엄격한 양성과 동치)이 식별 가능성에 충분함을 입증함.
• 상호작용 포텐셜에 대한 미약한 조건 하에서, 적분 커널이 엄격한 양성 정의를 갖는다는 것을 Müntz 유형 정리를 통해 증명함.
• 양성 정의 커널과 음성 정의 함수 이론을 적용하여 선형 및 비선형 시스템에서 강한 조건을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측된 궤적에서 상호작용 함수 $\phi$가 어떤 조건에서 식별 가능할 수 있는가?
• RQ2 무한한 입자 수 근처에서 강한 조건이 식별 가능성에 대해 필수적이며 동시에 충분한가?
• RQ3 선형 시스템과 정적 분포를 갖는 비선형 시스템에서 강한 조건을 검증할 수 있는가?
• RQ4 상호작용 함수 $\phi$와 관련된 적분 연산자의 구조는 식별 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 양성 정의 커널과 Müntz 유형 정리는 적분 연산자의 엄격한 양성 조건을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 강한 조건은 1차 확률적 상호작용 입자 시스템에서 상호작용 함수 $\phi$의 식별 가능성에 충분하다.
• 입자 수 $N \to \infty$ 의 극한에서, 강한 조건은 식별 가능성에 필수적이다.
• 일반적인 초기 분포를 갖는 선형 시스템에서는 강한 조건이 성립하여 식별 가능성을 보장한다.
• 정적 분포를 갖는 3입자 비선형 시스템에서는 상호작용 포텐셜 $\Phi(r) = r^{2\beta}$ 에 대한 일정한 가정 하에 강한 조건이 성립한다.
• 커널이 엄격한 양성 정의를 갖는다면, 상호작용 함수와 관련된 적분 연산자는 엄격한 양성 정의를 갖는다. 이는 半선에서의 Müntz 유형 정리를 통해 검증된다.
• 지수 모멘트 조건 하에서 $\{r^{2k}\}_{k=1}^\infty$ 가 $L^2([0,\infty), \rho)$ 에서 완비임을 보장함으로써, 커널이 탈구화되지 않음을 입증하고, 강한 조건의 타당성을 뒷받침한다.