[논문 리뷰] On the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel modular forms

Luís Dieulefait|ArXiv.org|2001. 09. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 멱등성 1인 고도 2의 시겔 씽크형식에 부착된 갈루아 표현의 이미지를 결정한다. 이 표현의 이미지는 거의 모든 소수에서 가능한 한 크게, 즉 최대 심플렉틱군 $ A_{\theta}^k $ 와 동일하다. 이는 형식이 마스 스펙셜포름이 아니며, 푸리에 계수들이 생성하는 체에 추가 조건을 만족할 경우에 성립한다. 증명은 $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ 의 극대 부분군 분류, 인ertial 이미지에 대한 Fontaine–Laffaille 이론, 그리고 2차원 표현에 대한 세르의 추측을 통합한다.

ABSTRACT

We address the problem of the determination of the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel cusp forms of level 1 having multiplicity one. These representations are symplectic. We prove that the images are as large as possible for almost every prime, if the Siegel cusp form is not a Maass spezialform and verifies two easy to check conditions.

연구 동기 및 목표

• 면제 1인 고도 2의 시겔 씽크형식에 부착된 갈루아 표현의 이미지를 결정하는 것.
• 이 심플렉틱 갈루아 표현이 $ \mathrm{GSp}(4,\overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ 안에서 최대 이미지를 갖는 조건을 설정하는 것.
• 세르의 추측과 추가 수론적 조건을 가정할 경우, 거의 모든 소수 $ \lambda $ 에 대해 이미지가 $ A_{\lambda}^k $ 와 동일하다는 것을 증명하는 것.
• 푸리에 계수들의 판별식에 대한 조건을 도입함으로써 세르의 추측에 의존하지 않고도 이미지의 최대성을 확보하는 것.
• 만일 잔여 표현이 무한히 많은 $ \lambda $ 에 대해 가역적이면, $ \lambda $-adic 표현 역시 가역적이며, 이는 주 가정 하에 모순을 일으킨다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ 의 극대 부분군 분류를 이용해 가능한 이미지 축소를 분석하는 것.
• Hodge–Tate 분해를 바탕으로 인ertia 부분군 $ I_\ell $ 의 이미지를 기술하기 위해 Fontaine–Laffaille 이론을 적용하는 것.
• 홀수이고 기약인 2차원 갈루아 표현에 대한 세르의 추측을 활용해 잔여 표현의 모듈라성을 유도하는 것.
• 가짜 표현과 패치 레미마를 사용하여 국소 자료로부터 전역 갈루아 표현을 구성하는 것.
• 문헌 [3]의 보조정리를 적용하여, $ \lambda $-adic 표현이 $ E_\lambda $ 에 정의되어 있지 않은 경우에도 mod-$ \lambda $ 잔여 표현을 정의하는 것.
• 기약 케이스에서 텐서 분해의 유일성을 이용하여, $ \rho_{f,\lambda} $ 의 반단순화가 두 개의 2차원 표현의 합이며, 둘 다 결정식이 $ \chi^{2k-3} $ 와 동일하다는 것을 유추하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 면제 1인 고도 2의 시겔 씽크형식에 부착된 갈루아 표현의 이미지가 가능한 한 크게 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 잔여 표현 $ \mathrm{mod} \, \lambda $ 의 이미지는 자동형식의 구조와 그 푸리에 계수들 사이에 어떤 관계를 가지는가?
• RQ3 세르의 추측을 가정하지 않고도 이미지의 최대성이 입증될 수 있는가?
• RQ4 체 $ E = \mathbb{Q}(d_p) $ 와 $ d_p $ 가 제곱이 아니라는 조건이 가역 잔여 표현을 배제하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 조건 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ 와 $ \sqrt{d_p} \notin E $ 가 거의 모든 소수에서 이미지가 최대가 되도록 보장하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 면제 1인 고도 2의 시겔 씽크형식이 멱등성 1을 가지며, 마스 스펙셜포름이 아니고, 어떤 소수 $ p $ 에 대해 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $, $ \sqrt{d_p} \notin E $ 를 만족할 경우, 거의 모든 소수 $ \lambda $ 에 대해 $ \rho_{f,\lambda} $ 의 이미지는 $ A_{\lambda}^k $ 와 동일하다.
• 잔여 표현 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 의 이미지는 $ \{ g \in \mathrm{GSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) \mid \det(g) \in (\mathbb{F}_\ell^*)^{4k-6} \} $ 에 포함되며, 그 프로젝티브 이미지는 잔여 차수에 따라 $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_\lambda) $ 또는 $ \mathrm{PGSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) $ 에 속한다.
• 만일 잔여 표현 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 가 무한히 많은 $ \lambda $ 에 대해 가역적이라면, $ \lambda $-adic 표현 $ \rho_{f,\lambda} $ 역시 모든 $ \lambda $ 에 대해 가역적이며, 이는 최대성 조건과 모순된다.
• 조건 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ 와 $ \sqrt{d_p} \notin E $ 는 $ \ell \nmid \mathrm{disc}(d_p) $ 이고 $ d_p \notin (\mathbb{F}_\lambda)^2 $ 인 모든 $ \lambda $ 에 대해 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 가 기약임을 보장하며, 이 조건은 무한히 많은 $ \lambda $ 에 대해 성립한다.
• 푸리에 계수의 조건이 만족되면 세르의 추측에 의존하지 않고도 결과가 성립함을 가짜 표현 패치 기법을 통해 보였다.
• 스코루프파의 예제들은 요구 조건을 만족하므로, 그 갈루아 표현은 거의 모든 소수에서 최대 이미지를 갖는다.