[논문 리뷰] On the implementation of the eXtended Finite Element Method (XFEM) for interface problems

Thomas Carraro, Sven E. Wetterauer|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 불일치 메쉬를 사용하는 인터페이스 문제를 해결하기 위해 deal.II 유한요소 라이브러리 내에서 eXtended Finite Element Method (XFEM)의 실용적 구현을 제시한다. 체적 규칙, 풍부화된 형상 함수, 인터페이스 조건 처리 방법을 상세히 기술하며, 강한 연속성과 약한 연속성의 경우 모두 최적 수렴성을 입증한다. 또한 약한 연속성의 경우 블렌딩 효과를 다루고 있다.

ABSTRACT

The eXtended Finite Element Method (XFEM) is used to solve interface problems with an unfitted mesh. <br>We present an implementation of the XFEM in the FEM-library deal.II. <br>The main parts of the implementation are (i) the appropriate quadrature rule; (ii) the shape functions for the extended part of the finite element formulation; (iii) the boundary and interface conditions. <br>We show how to handle the XFEM formulation providing a code that demonstrates the solution of two exemplary interface problems for a strong and a weak discontinuity respectively. <br>In the weak discontinuity case, the loss of conformity due to the blending effect and its remedy are discussed. <br>Furthermore, the optimal convergence of the presented unfitted method is numerically verified.

연구 동기 및 목표

• 불일치 메쉬를 사용한 XFEM을 통해 인터페이스 문제의 정확한 해를 도출하기 위해.
• deal.II 유한요소 라이브러리 내에서 견고한 구현을 개발하기 위해.
• XFEM에서 체적 규칙, 형상 함수, 인터페이스 조건의 과제를 해결하기 위해.
• 약한 연속성 문제에서의 블렌딩 효과를 분석하고 완화하기 위해.
• 불일치 XFEM 수식의 최적 수렴 속도를 수치적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 인터페이스에 의해 잘린 요소에 맞춘 특수화된 체적 규칙을 채택하기 위해.
• 레벨셋 기반의 불연속성을 포함하는 풍부화된 형상 함수를 구현하기 위해.
• 변분 수식에서 약한 강제 방식을 통해 경계 및 인터페이스 조건을 적용하기 위해.
• 메쉬 정렬이 필요 없도록 인터페이스 기하 구조를 레벨셋 함수로 기술하기 위해.
• 인터페이스를 넘어 불연속적인 해를 允許하는 변분 수식을 사용하기 위해.
• 잘린 요소와 풍부화된 자유도를 고려한 수치적 적분 기법을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현대적인 FEM 라이브러리인 deal.II에서 인터페이스 문제에 대해 XFEM을 효과적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 인터페이스에 의해 잘린 요소에서 정확성을 보장하는 체적 전략은 무엇인가?
• RQ3 풍부화된 형상 함수와 레벨셋 함수는 불연속성 모델링에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 블렌딩 효과는 약한 연속성 문제의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 불일치 XFEM 접근을 통해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 구현은 강한 불연속성과 약한 불연속성의 두 가지 대표적인 인터페이스 문제를 성공적으로 해결하였다.
• 약한 불연속성 문제에서 블렌딩 효과가 수렴 차수를 낮추는 원인이 됨을 확인하였다.
• 블렌딩 효과에 대한 대책이 적용되어 최적 수렴 행동이 복원되었다.
• 강한 불연속성 및 약한 불연속성의 경우 모두 최적 수렴 속도가 수치적으로 검증되었다.
• 제안된 체적 규칙 및 형상 함수 전략은 불일치 메쉬에서 인터페이스 문제의 정확한 해를 가능하게 한다.