[논문 리뷰] On the index divisors and monogenity of certain nonic number fields

Omar Kchit|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 06.

Analytic Number Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수를 가진 모닉 기약 삼항식 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 의 근으로 생성된 비닉 수체 $ K $ 에 대한 인덱스 $ i(K) $ 의 소수 인수를 완전히 기술한다. 뉴턴 다각형 기법과 $ p $-진 값매김을 사용하여 각 소수 $ p $ 에 대해 $ p \mid i(K) $ 인지 여부를 결정하고, $ \nu_p(i(K)) $ 를 계산하며, $ i(K) \neq 1 $ 이면 $ K $ 가 단일생성가능하지 않음을 보인다. 주요 기여는 이 분야에 대해 나르키에비치의 문제 22를 완전히 해결한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, for any nonic number field $K$ generated by a root $α$ of a monic irreducible trinomial $F(x)=x^9+ax+b \in \mathbb{Z}[x]$ and for every rational prime $p$, we characterize when $p$ divides the index of $K$. We also describe the prime power decomposition of the index $i(K)$. In such a way we give a partial answer of Problem $22$ of Narkiewicz (\cite{Nar}) for this family of number fields. In particular if $i(K) eq 1$, then $K$ is not mongenic. We illustrate our results by some computational examples.

연구 동기 및 목표

• 비닉 수체 $ K $ 가 모닉 기약 삼항식 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 로 정의될 때, 유리 소수 $ p $ 가 인덱스 $ i(K) $ 를 나누는지 여부를 결정하는 것.
• 각 소수 $ p $ 에 대해 $ p $-진 값매김 $ \nu_p(i(K)) $ 를 계산하는 것, 특히 $ p = 2, 3 $ 과 $ p \geq 5 $ 에 대해 계산하는 것.
• 인덱스 $ i(K) $ 의 소수 거듭제곱 분해를 완전히 기술하여, 나르키에비치 목록의 특수 케이스를 해결하는 것.
• 이러한 수체가 언제 단일생성가능한지(즉, $ i(K) = 1 $ 인지)와 그렇지 않은지를 인덱스가 비자명할 경우에 기반하여 결정하는 것.
• 특정 계수 $ a $ 와 $ b $ 에 대해 $ i(K) $ 가 1, 2, 3, 6, 8 또는 24 가 되는 경우를 포함한 명시적 계산 예제를 제시하는 것.

제안 방법

• 특히 $ p = 2 $ 와 $ p = 3 $ 에 대해 $ F(x) = x^9 + ax + b $ 의 모듈로 $ p $ 에 대한 인수분해를 분석하기 위해 $ \mathbb{Q}_p $ 위에서의 뉴턴 다각형 이론을 사용하는 것.
• 데데킨드 정리와 오어 정리를 적용하여 $ p\mathbb{Z}_K $ 의 인수분해와 인덱스 $ i(K) $ 를 연결하는 것.
• 다항식 $ F(x) $ 의 판별식 $ \Delta $ 와 그 $ p $-진 값매김 $ \nu_p(\Delta) $ 를 계산하여 $ \mathbb{Z}_K $ 에서의 $ p $ 의 행동을 규명하는 것.
• 특히 $ \nu_p(ab) = 0 $ 인 경우 $ \nu_p(2^{24}a^9 + 3^{18}b^8) = 1 $ 이라는 조건을 사용하여 $ \mathbb{Z}[\alpha] $ 의 정수적 폐쇄성과 단일생성가능성을 테스트하는 것.
• 뉴턴 다각형의 구조와 $ p $ 위의 잔여도 1인 소수 이상의 개수를 통해 $ \nu_p(i(K)) $ 를 평가하는 것.
• $ (a,b) \mod 4 $, $ \mod 9 $, $ \mod 81 $, $ \mod 243 $ 에 대한 모듈로 조건을 사용하여 $ \nu_2(i(K)) $ 와 $ \nu_3(i(K)) $ 를 결정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비닉 수체 $ K $ 가 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 로 정의될 때, 어떤 유리 소수 $ p $ 가 인덱스 $ i(K) $ 를 나누는가?
• RQ2 $ p = 2 $, $ p = 3 $, $ p \geq 5 $ 에 대해 계수 $ a $ 와 $ b $ 를 이용하여 $ \nu_p(i(K)) $ 의 정확한 값을 구하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $ \mathbb{Z}[\alpha] $ 가 정수적으로 폐쇄되려면 어떤 조건이 필요한가? 그리고 $ K $ 가 언제 단일생성가능한가?
• RQ4 이 수체 클래스에 대해 $ i(K) $ 의 소수 거듭제곱 분해를 어떻게 완전히 결정할 수 있는가?
• RQ5 특정 $ a $ 와 $ b $ 에 대해 인덱스 $ i(K) $ 는 명시적으로 계산할 수 있으며, 언제 그 값이 1보다 큰가?

주요 결과

• 특수값 $ a = 51 $, $ b = 122 $ 에서 정리 2.1 의 모든 인덱스 조건이 만족되므로 $ i(K) = 1 $ 이고, $ K $ 는 단일생성가능하다.
• $ a = 35 $, $ b = 20 $ 인 경우 $ (a,b) \equiv (3,4) \mod 8 $ 이므로 $ \nu_2(i(K)) \geq 1 $ 이고, 따라서 $ i(K) $ 는 짝수이며 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.
• $ a = 1392 $, $ b = 768 $ 인 경우 $ \nu_2(i(K)) = 1 $ 이고 $ \nu_3(i(K)) = 0 $ 이므로 $ i(K) = 2 $ 이고 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.
• $ a = 126 $, $ b = 40130 $ 인 경우 $ \nu_3(i(K)) = 1 $ 이고 $ \nu_2(i(K)) = 0 $ 이므로 $ i(K) = 3 $ 이고 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.
• $ a = 15381 $, $ b = 6634 $ 인 경우 $ \nu_2(i(K)) = 1 $ 이고 $ \nu_3(i(K)) = 1 $ 이므로 $ i(K) = 6 $ 이고 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.
• $ a = 183 $, $ b = 296 $ 인 경우 $ \nu_2(i(K)) = 3 $ 이고 $ \nu_3(i(K)) = 0 $ 이므로 $ i(K) = 8 $ 이고 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.
• $ a = 7335 $, $ b = 24184 $ 인 경우 $ \nu_2(i(K)) = 3 $ 이고 $ \nu_3(i(K)) = 1 $ 이므로 $ i(K) = 24 $ 이고 $ K $ 는 단일생성가능하지 않다.