[논문 리뷰] On the inference about the spectra of high-dimensional covariance matrix based on noisy observations-with applications to integrated covolatility matrix inference in the presence of microstructure noise

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 07.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 관측치가 노이즈에 오염된 경우 고차원 공분산 행렬에 대한 이중단계 스펙트럼 추론 방법을 개발한다. 특히 고빈도 금융에서 마이크로구조처 노이즈가 존재하는 상황에서 통합 공분산 행렬 추정에 적용한다. 노이즈가 있는 표본 공분산 행렬의 한계 스펙트럼 분포(LSD)와 진짜 기저 공분산 행렬 사이의 渐近적 연결 고리를 확립함으로써, 수정된 프리어에이징 접근법과 마르체노-파스트르 방정식에 의해 지배되는 노이즈에 강건한 추정기법을 통해 일관된 스펙트럼 추정이 가능해진다.

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix to be an information-plus-noise-type covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectra of the underlying true covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (true) sample covariance matrices depends on that of information-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider the inference about the spectra of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is an information-plus-noise-type covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of true sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative estimator is further proposed, which possesses two desirable properties: it eliminates the impact of microstructure noise, and its limiting spectral distribution depends only on that of the ICV through the standard Marčenko-Pastur equation. Numerical studies demonstrate that our proposed methods can be used to estimate the spectra of the underlying covariance matrix based on noisy observations.

연구 동기 및 목표

• 관측치가 노이즈에 오염된 경우 고차원 진짜 공분산 행렬의 스펙트럼 분포를 추론하는 문제에 대응하는 것, 특히 고빈도 금융 데이터에서의 적용을 목적으로 한다.
• 노이즈가 첨가된(정보+노이즈 유형의) 표본 공분산 행렬의 한계 스펙트럼 분포(LSD)와 기저 진짜 공분산 행렬의 LSD 사이의 점근적 관계를 맺는 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 이 프레임워크를 고차원 확산 과정에서 마이크로구조처 노이즈로 관측되는 통합 공분산 행렬(ICV)의 스펙트럼 분포 추론에 적용하는 것.
• 노이즈가 있는 고빈도 데이터에도 불구하고 ICV의 스펙트럼 분포를 일관되게 추정할 수 있는 이중단계 절차를 제안하는 것.
• 마르체노-파스트르 방정식을 통해 ICV에만 의존하는 LSD를 가지는 노이즈에 강건한 추정기법을 설계하는 것.

제안 방법

• 고차원 점근적 조건 하에서 진짜 표본 공분산 행렬의 LSD와 정보+노이즈 유형의 표본 공분산 행렬의 LSD 사이의 점근적 관계를 수립한다.
• 마르체노-파스트르 방정식을 기본 도구로 활용하여 표본 공분산 행렬의 LSD와 모집단 공분산 행렬 간의 일반화된 연결 고리를 적용한다.
• 약간 수정된 프리어에이징 추정기법을 사용하여 노이즈에 강건한 ICV 행렬 추정을 수행하며, 이는 자연스럽게 정보+노이즈 유형의 공분산 행렬을 형성한다.
• 이중단계 절차를 제안한다: 첫째, 노이즈가 첨가된 프리어에이징 추정기의 LSD를 추론하고, 둘째, 유도된 점근적 관계를 통해 이를 진짜 ICV의 LSD로 매핑한다.
• 독립 동일분포 표준 정규 벡터의 표본 공분산 행렬과 渐近적으로 동일한 성질을 가지는 대안 추정기법을 제안하여, 그 LSD가 ICV에만 의존하도록 보장한다.
• 오차 항을 통제하고 스펙트럼 모멘트의 거의 확실 수렴을 확립하기 위해, 모멘트 조건과 노이즈의 강한 혼합 조건을 활용하며, 모멘트 유계와 헬더 부등식을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 설정 하에서 노이즈가 첨가된 관측치 기반 표본 공분산 행렬의 한계 스펙트럼 분포(LSD)는 진짜 기저 공분산 행렬의 LSD와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 고빈도 금융 데이터에 마이크로구조처 노이즈가 존재할 경우, 통합 공분산 행렬(ICV)의 스펙트럼 분포를 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ3 마이크로구조처 노이즈가 존재하는 상황에서 프리어에이징 추정기의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 그 LSD는 진짜 ICV의 LSD와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ4 노이즈에 강건한 추정기법을 구성할 수 있는가? 그 LSD가 표준 마르체노-파스트르 방정식에 의해 ICV에만 의존하도록 할 수 있는가?
• RQ5 스펙트럼 모멘트와 추정기의 LSD의 거의 확실 수렴을 보장하기 위해 노이즈와 기저 과정에 필요한 충분한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 유도된 함수적 관계를 통해 노이즈가 첨가된(정보+노이즈 유형의) 표본 공분산 행렬의 한계 스펙트럼 분포(LSD)는 진짜 공분산 행렬의 LSD와 점근적으로 연결된다.
• 수정된 프리어에이징 추정기법에 기반한 이중단계 절차는 고차원 점근적 조건 하에서 통합 공분산 행렬(ICV)의 LSD를 성공적으로 추정한다.
• 제안된 대안 추정기법은 독립 동일분포 표준 정규 벡터의 표본 공분산 행렬과 渐近적으로 동일하며, 그 LSD가 표준 마르체노-파스트르 방정식에 의해 ICV에만 의존하도록 보장한다.
• 모멘트 조건과 혼합 조건이 만족될 경우, 프리어에이징 추정기의 LSD는 ICV와 노이즈 구조에 의해 결정되는 결정론적 한계로 거의 확실하게 수렴한다.
• 수치적 연구 결과는 제안된 방법이 마이크로구조처 노이즈에 의해 오염된 관측치에서도 기저 공분산 행렬의 스펙트럼을 정확하게 추정할 수 있음을 확인한다.
• 유한한 모멘트와 강한 혼합 조건 하에서 스펙트럼 모멘트 근사의 오차 항은 거의 확실하게 사라지며, 이는 LSD 추정의 일관성을 보장한다.