[논문 리뷰] On the inference about the spectral distribution of high-dimensional covariance matrix based on high-frequency noisy observations

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 13.

Random Matrices and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차원 확산 과정에서 고주기 노이즈 있는 데이터를 사용하여 통합공분산행렬(ICV)의 스펙트럼 분포를 일관적으로 추정하기 위한 이단계 절차를 개발한다. 신호+노이즈 표본 공분산행렬과 그들의 한계 스펙트럼 분포 사이의 渐近적 관계를 확립함으로써, 저자들은 마르체노-파스트르 방정식을 활용하여 고차원 점점 커지는 점근적 조건 하에서 일관된 추론이 가능한 강건한 추정기법을 제안한다. 이는 미세구조 노이즈를 효과적으로 제거한다.

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix a signal-plus-noise sample covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectral distribution of the population covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (signal) sample covariance matrices depends on that of signal-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider inferences about the spectral distribution of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is a signal-plus-noise sample covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of signal sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to consistently estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative approach is further proposed, which possesses several desirable properties: it is more robust, it eliminates the effects of microstructure noise, and the asymptotic relationship that enables consistent estimation of the spectral distribution of ICV is the standard Marcenko-Pastur equation. The performance of the two approaches is examined via simulation studies under both synchronous and asynchronous observation settings.

연구 동기 및 목표

• 고주기 데이터가 미세구조 노이즈에 오염되어 있을 때 고차원 확산 과정에서 통합공분산행렬(ICV)의 스펙트럼 분포를 추정하는 데 도전하는 문제를 다루는 것.
• 신호+노이즈 표본 공분산행렬의 한계 스펙트럼 분포와 기저 신호 전용 표본 공분산행렬의 한계 스펙트럼 분포 사이의 점근적 관계를 수립하는 것.
• p, n → ∞ 이면서 p/n → y ∈ (0, ∞) 조건 하에서 고차원 점근적 조건 하에서 ICV의 스펙트럼 분포에 대한 일관된 이단계 추정 절차를 개발하는 것.
• 미세구조 노이즈의 영향을 제거하고 표준 마르체노-파스트르 방정식을 활용하여 일관된 추정이 가능한 더 강건한 대안적 접근법을 제안하는 것.

제안 방법

• 신호+노이즈 표본 공분산행렬의 한계 스펙트럼 분포가 신호 전용 표본 공분산행렬의 스펙트럼 분포에 어떻게 의존하는지를 묘사하는 점근적 관계를 유도한다.
• 신호 공분산행렬의 스펙트럼 분포와 모집단 공분산행렬 사이의 일반화된 연결 관계를 적용하여 이단계 추정 절차를 구성한다.
• 사전 평균화 추정기(Pre-averaging estimator)를 활용하며, 이는 노이즈가 포함된 고주기 관측치를 모델링하는 데 사용되는 신호+노이즈 표본 공분산행렬임이 입증된다.
• 노이즈가 포함된 데이터를 변환하여 미세구조 노이즈의 영향을 제거하는 대안적 추정기법을 제안하며, 이는 표준 마르체노-파스트르 방정식을 활용한 일관된 추정을 가능하게 한다.
• 제한된 스펙트럼 분포 분석과 고차원 점근적 조건 하에서의 수렴성 증명을 위해 스틸체스 변환과 리졸베이트 기법을 활용한다.
• 복소수 상반평면 내에서의 타이트함(tightness)과 유일성 추론을 기반으로, 경험적 스펙트럼 분포의 스틸체스 변환의 거의 확실 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 설정에서 신호+노이즈 표본 공분산행렬의 한계 스펙트럼 분포는 기저의 신호 전용 표본 공분산행렬의 스펙트럼 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 고주기 데이터가 미세구조 노이즈에 오염되어 있을 때, 통합공분산행렬(ICV)의 스펙트럼 분포를 추정하기 위한 일관된 이단계 절차를 개발할 수 있는가?
• RQ3 표준 마르체노-파스트르 방정식을 활용하여 일관된 추정이 가능한 더 강건한 대안적 추정 접근법이 존재하는가? 이는 미세구조 노이즈의 영향을 제거한다.
• RQ4 동기화 및 이종 관측 설계 모두에서 제안된 추정기의 유한표본 성능 특성은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 이단계 절차는 고차원 점근적 조건 하에서 관측치가 미세구조 노이즈에 오염되어 있더라도 ICV 행렬의 스펙트럼 분포를 일관되게 추정한다.
• 대안적 추정기법은 미세구조 노이즈의 영향을 성공적으로 제거하여 표준 마르체노-파스트르 방정식을 활용한 일관된 추정이 가능하게 한다.
• 시뮬레이션 연구 결과, 두 방법 모두 동기화 및 이종 관측 설정 모두에서 잘 작동하며, 특히 대안적 방법이 더 뛰어난 강건성을 보였다.
• 신호+노이즈 스펙트럼 분포와 신호 전용 스펙트럼 분포 사이의 점근적 관계가 엄밀히 확립되었으며, 이는 노이즈가 포함된 고주기 데이터에서의 일관된 추론을 가능하게 한다.
• 사전 평균화 추정기의 경험적 스펙트럼 분포의 스틸체스 변환은 거의 확실히 진짜 한계 변환으로 수렴하며, 이는 스펙트럼 분포 추정기의 일관성을 보장한다.