[논문 리뷰] On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|2005. 10. 06.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 페론의 공식과 멜린 변환을 사용하여 일반화된 딜리클레 약수 문제에서 오차 항 Δₖ(x)의 적분을 조사한다. ∫₁ˣ Δₖ(u) du와 그 제곱 평균에 대해 날카로운 경계를 확립하며, 특히 ∫₁ˣ Δ₂(u) du ≪ x^{3/4}와 ∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ₂(t) dt)² du ∼ Cx^{5/2}를 증명하여 고전적 약수 문제의 추측된 성장률을 확인한다.

ABSTRACT

Several results are obtained concerning the function $Δ_k(x)$, which represents the error term in the general Dirichlet divisor problem. These include the estimates for the integral of this function, as well as for the corresponding mean square integral. The mean square integral of $Δ_2(x)$ is investigated in detail.

연구 동기 및 목표

• 작은 k에 대해 일반화된 딜리클레 약수 문제에서 오차 항 Δₖ(x)의 적분을 분석하기 위해.
• 복소해석 기법을 사용하여 ∫₁ˣ Δₖ(u) du의 점별 및 제곱 평균 추정을 도출하기 위해.
• 고전적 약수 문제의 오차 항인 Δ₂(x)의 제곱 평균 적분의 행동을 조사하기 위해.
• 기존 경계를 초월하여 Δ₂(x)에 대한 더 날카운 점근 전개가 가능한지 탐색하기 위해.
• 제곱 평균 결과가 Δ(x)의 크기 추측과 린델뢰프 가설과의 연결 고리에 미치는 영향을 검토하기 위해.

제안 방법

• ζᵏ(s)와 xˢ/s를 포함하는 복소적 적분으로 Δₖ(x)를 표현하기 위해 페론의 역공식을 적용한다.
• 페론 공식을 적분하여 ∫₁ˣ Δₖ(u) du를 ζᵏ(s)/(s(s+1))를 포함하는 멜린 유형의 적분으로 표현한다.
• ζ(s)의 고전적 모멘트 추정을 사용하여 Δₖ(u) du의 적분을 경계하며, 특히 k=2,3에 대해 적용한다.
• 복소적 적분 기법과 첫 번째 도함수 테스트를 사용하여 보로노이 유형의 명시 공식에서 발생하는 진동적 적분을 추정한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 오차 함수 F(x)의 알려진 L² 경계를 사용하여 ∫Δ₂(u) du의 제곱 평균을 제어한다.
• 해석적 계속성과 적분 추정을 사용하여 임계대에서 Δ₂(x)의 멜린 변환에 대한 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 k=2와 k=3일 때, ∫₁ˣ Δₖ(u) du에 대해 가능한 한 낮은 상한 경계는 무엇인가?
• RQ2 x → ∞일 때, ∫₁ˣ Δ₂(u) du의 제곱 평균 적분은 어떻게 성장하는가?
• RQ3 베셀 함수를 통한 Δ₂(x)의 명시 공식이 그 적분에 대한 정밀한 점근 추정을 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 ∫₁ˣ Δ₂(u) du = O(x^{α})를 만족하는 최적의 지수 α는 무엇인가?
• RQ5 제곱 평균 정보를 사용하여 Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}의 추측된 경계를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• k=2일 때, ∫₁ˣ Δ(u) du는 ∫₁ˣ Δ(u) du ≪ x^{3/4}를 만족하며, 제곱 평균 적분 ∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ(t) dt)² du는 x → ∞일 때 Cx^{5/2}로 수렴한다. 여기서 C > 0이다.
• k=3일 때, ∫₁ˣ Δ₃(u) du ≪ε x^{1+ε}이며, 이에 해당하는 제곱 평균 적분은 ≪ε x^{3+ε}이다.
• ∫Δ₂(u) du의 제곱 평균이 1 < σ < 3/2일 때 ≪ T^{6-4σ}(log T)^{12-8σ}임을 보여주어 임계대에서 수렴함을 확인한다.
• 논문은 Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}가 성립할 경우, F(x) = -1/(4π²)x log²x + κx log x + λx + G(x), G(x) = O(x^α)에서 α > 3/4인 추측된 경계가 최적이 되는 것을 증명한다.
• α > 3/4가 필수적임을 보이며, α < 3/4를 가정하면 코시-슈바르츠 부등식과 알려진 lim sup |Δ(x)x^{-1/4}| = ∞의 결과로 모순이 발생한다.
• 결과는 Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}가 날카로운 경계이며, α = 3/4 + ε인 F(x)에 대한 정교한 점근 전개가 가능할 것임을 지지한다.