[논문 리뷰] On the intelligibility of the universe and the notions of simplicity, complexity and irreducibility

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|2002. 10. 02.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 우주의 이해 가능성의 근본 원인이 압축에 있음을 주장한다: 복잡한 현상들은 단순한 이론을 통해 이해되며, 이는 알고리즘 정보 이론(AIT)을 통해 그들을 생성하는 가장 작은 프로그램의 크기로 수식화된다. 이 논문은 일부 수학적 사실이 불가약하다는 것을 보여주며, 이는 복잡도를 그 자체의 서술 이하로 줄일 수 없음을 의미한다. 이는 수학과 물리학에서 무한한 복잡도를 암시하며, 완전하고 유한한 통합 이론의 개념에 도전한다.

ABSTRACT

We discuss views about whether the universe can be rationally comprehended, starting with Plato, then Leibniz, and then the views of some distinguished scientists of the previous century. Based on this, we defend the thesis that comprehension is compression, i.e., explaining many facts using few theoretical assumptions, and that a theory may be viewed as a computer program for calculating observations. This provides motivation for defining the complexity of something to be the size of the simplest theory for it, in other words, the size of the smallest program for calculating it. This is the central idea of algorithmic information theory (AIT), a field of theoretical computer science. Using the mathematical concept of program-size complexity, we exhibit irreducible mathematical facts, mathematical facts that cannot be demonstrated using any mathematical theory simpler than they are. It follows that the world of mathematical ideas has infinite complexity and is therefore not fully comprehensible, at least not in a static fashion. Whether the physical world has finite or infinite complexity remains to be seen. Current science believes that the world contains randomness, and is therefore also infinitely complex, but a deterministic universe that simulates randomness via pseudo-randomness is also a possibility, at least according to recent highly speculative work of S. Wolfram.

연구 동기 및 목표

• 우주의 본질적 이해 가능성은 단순성과 압축을 통해 이루어지는가를 조사하기 위해.
• 플라톤과 라이프니츠의 단순성 철학적 근원을 탐색하고, 현대 계산 이론의 복잡도 개념과 연결하기 위해.
• 설명 = 압축이라는 개념을 알고리즘 정보 이론(AIT)을 통해 수식화하기 위해.
• 수학적 및 물리적 시스템이 유한한 복잡도를 가지는지, 아니면 무한한 복잡도를 가지는지 분석하기 위해.
• 우주의 명백한 난수성은 진정한 난수성인지, 아니면 결정론적 의사난수성인지 평가하기 위해.

제안 방법

• 복잡도를 알고리즘 정보 함량으로 정의한다: 주어진 객체를 계산하는 가장 작은 프로그램의 크기.
• 카이틴의 상수 Ω을 알고리즘 난수성과 무한한 복잡도의 범용 사례로 사용한다.
• Ω가 알고리즘적으로 불가약하다는 것을 입증한다: 유한한 이론은 Ω의 비트 중 자신의 복잡도 이하의 비트만 증명할 수 있다.
• Ω의 무한한 복잡도를 π의 유한한 복잡도와 비교하여, π는 통계적으로 난수처럼 보이지만 압축 가능하다는 것을 보여준다.
• 압축 원칙을 물리 이론에 적용하여, 관측 결과를 계산하는 프로그램으로서 이론을 간주한다.
• 만약 우주가 결정론적이지만 난수처럼 보인다면(예: π처럼), 유한한 복잡도를 가질 수 있지만, 만약 진정한 난수가 포함되어 있다면(예: Ω처럼), 무한한 복잡도를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우주는 이성적으로 이해될 수 있는가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ2 단순성, 대칭성과 자연현상을 설명할 수 있는 능력 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 수학적 사실도 불가약한가? 즉, 더 단순한 이론으로 설명할 수 없는가?
• RQ4 물리 세계는 유한한가, 아니면 무한한 알고리즘 복잡도를 가진다?
• RQ5 자연에서의 명백한 난수성은 π의 숫자처럼 결정론적 의사난수 과정으로 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 수학적 사실은 불가약할 수 있다: 어떤 진리도 더 단순한 이론으로 유도될 수 없으며, 이는 형식적 증명의 본질적 한계를 암시한다.
• 카이틴의 상수 Ω는 최대 알고리즘 복잡도를 보인다: 그 비트들은 알고리즘적으로 난수이며 압축할 수 없다.
• Ω의 복잡도는 무한하다. 즉, 어떤 유한한 이론도 Ω의 비트 중 유한 개 이하를 계산할 수 없다.
• 반면, π는 유한한 복잡도를 가지며, 유한한 알고리즘으로 계산 가능하므로, 통계적으로 난수처럼 보이지만 압축 가능하다.
• 만약 양자 난수가 본질적이라면 물리적 우주는 무한한 복잡도를 가지며, 만약 의사난수라면 월프람의 셀룰러 오토마타 모델처럼 유한한 복잡도를 가질 수 있다.
• 진정한 난수성과 의사난수성 사이의 구분은 우주 내부에서 결정할 수 없으며, 오직 외부 관찰자만이 이를 구별할 수 있다.