[논문 리뷰] On the interaction between velocity increment and energy dissipation in the turbulent cascade

Renner, Ch., Joachim Peinke외 1명|ArXiv.org|2002. 11. 29.

Plant Water Relations and Carbon Dynamics참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전히 발달한 난류에서 속도 증분과 에너지 소산의 공동 통계적 진화를 모델링하기 위해 확률적 마르코프 프레임워크를 제안한다. 실험 데이터로부터 이차원 Fokker-Planck 방정식을 유도함으로써, 속도 증분의 드리프트가 에너지 소산과 무관한 것으로 드러났으며, 에너지 소산률의 동역학은 로그 소산률에 대해 선형인 것으로 나타나, 결정론적 진화는 분리되어 있고, 랜덤성은 오직 소음 항을 통해 결합됨을 시사한다.

ABSTRACT

We adress the problem of interactions between the longitudinal velocity increment and the energy dissipation rate in fully developed turbulence. The coupling between these two quantities is experimentally investigated by the theory of stochastic Markovian processes. The so-called Markov analysis allows for a precise characterization of the joint statistical properties of velocity increment and energy dissipation. In particular, it is possible to determine the differential equation that governs the evolution along scales of the joint probability density of these two quantities. The properties of this equation provide interesting new insights into the coupling between energy dissipation and velocity incrementas leading to small scale intermittency.

연구 동기 및 목표

• 완전히 발달한 난류에서 속도 증분과 에너지 소산률의 공동 통계적 성질을 기술하기 위해.
• Kolmogorov의 K41 이론의 가정을 초월하여 속도 증분과 에너지 소산률 간의 상호의존성을 조사하기 위해.
• 스토케스틱 마르코프 과정을 사용하여 스케일 진화를 기술하는 데이터 기반, 모델 자유형 접근법을 개발하기 위해.
• 속도 증분과 에너지 소산 간의 결합이 주로 결정론적인지, 확률적인 성격을 띠는지 규명하기 위해.
• 유도된 Fokker-Planck 방정식을 통해 모든 N스케일 공동모멘트를 닫힌 형태로 기술하기 위해.

제안 방법

• 속도 증분 $u(r)$ 와 평균 에너지 소산률 $\epsilon_r$ 의 공동 확률밀도함수(pdf)의 스케일 진화를 모델링하기 위해 다차원 마르코프 과정 이론을 적용한다.
• 실험 데이터로부터 드리프트 및 확산 계수를 추정하여, 공동 pdf $p(u(r), \epsilon_r)$ 를 지배하는 이차원 Fokker-Planck 방정식을 구성한다.
• 랜쥐안 방정식의 형태를 사용하여 스케일 $r$ 에 따라 $u(r)$ 와 $x(r) = \ln(\epsilon_r)$ 의 확률적 동역학을 기술하며, 계수는 경험적으로 유도한다.
• 단일 차원 마르코프 모델($u(r)$ 와 $\epsilon_r$ 각각에 대해)과 이차원 모델을 비교하여 단순화와 결합 효과를 평가한다.
• 계수의 $r$, $u$, 및 $x$ 에 대한 의존성 분석과 대칭성 및 모멘트 일致성 테스트를 통해 모델을 검증한다.
• Fokker-Planck 방정식을 사용하여 물리적 모델을 가정하지 않고도 $u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ 의 모든 N스케일 공동모멘트를 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 발달한 난류에서 스케일 간 속도 증분과 에너지 소산률은 어떻게 통계적으로 함께 진화하는가?
• RQ2 속도 증분과 에너지 소산률 간의 결합은 얼마나 결정론적이며, 얼마나 확률적인가?
• RQ3 $u(r)$ 와 $\epsilon_r$ 의 공동 통계적 행동은 모델 자유형, 데이터 기반 Fokker-Planck 방정식로 기술될 수 있는가?
• RQ4 드리프트 및 확산 계수의 기능적 의존성은 $u(r)$ 와 $\epsilon_r$ 에 어떻게 나타나는가?
• RQ5 이차원 마르코프 모델은 속도 증분과 에너지 소산의 일차원 모델에 비해 어떤 방식으로 단순화되거나 향상되는가?

주요 결과

• 속도 증분 $D^{(1)}_u(u,x,r)$ 의 드리프트 계수는 에너지 소산률 $\epsilon_r$ 와 무관하여, $u(r)$ 의 결정론적 진화가 $\epsilon_r$ 에 영향을 받지 않음을 시사한다.
• 로그 에너지 소산률 $D^{(1)}_x(u,x,r)$ 의 드리프트 계수는 $x = \ln(\epsilon_r)$ 에 대해 선형이며, 양의 기울기를 가지며, 이는 소규모 스케일에서 $\epsilon_r$ 의 자기강화 성장을 나타낸다.
• 속도 증분 방정식의 확률적 항은 $\epsilon_r$ 에 대해 거듭제곱 법칙 의존성을 보이며, 약 $\sqrt{\epsilon_r / \bar{\epsilon}}$ 와 유사하여 국소 소산에 의해 구동되는 다중성 노이즈임을 나타낸다.
• 이차원 랜쥐안 방정식은 분리된 결정론적 동역학을 보이며: $u(r)$ 는 오직 $u(r)$ 에만 의존하고, $x(r)$ 는 오직 $x(r)$ 에만 의존하며, 결합은 오직 소음 항을 통해만 발생한다.
• 이차원에서 단순화된 속도 증분 방정식은 $u \to -u$ 에 대한 대칭성을 유지하므로, 홀수차 모멘트는 오직 에너지 캐스케이드의 영향에서 기인함을 시사한다.
• 유도된 Fokker-Planck 방정식은 $u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ 의 모든 N스케일 공동모멘트를 닫힌 형태로 기술할 수 있으며, 데이터만으로도 전체 통계적 특성을 기술할 수 있다.